Pinball 3D: Tischebene

Für das Spiel Pinball 3D soll die Tischebene modelliert werden. Der Tisch hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$ , $B(0|56|0)$ , $C(80|56|10)$ und $D(80|0|10)$ .

Gib eine Parameterform der Ebene an.
Zeige rechnerisch, dass der vierte Punkt in der Ebene liegt.

2D Visualisierung3D Visualisierung

Lösung: Parameterform

Je nachdem welche Punkte du zum Aufstellen der Ebene benutzt hast, sind verschiedene Parameterformen richtig. Hier sind ein paar Lösungen aufgelistet:

$\vec{OA}$ Stützvektor; $\vec{AB}$ und $\vec{AD}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

$\vec{OA}$ Stützvektor; $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\56\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

$\vec{OB}$ Stützvektor; $\vec{BA}$ und $\vec{BC}$ Spannvektoren:

E_{Tisch}: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\-56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Lösung: Punkt in der Ebene

Wir überprüfen, ob $D(80|0|10)$ in der Ebene $E_{Tisch}$ liegt.

\begin{pmatrix}80\\0\\10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\56\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}80\\56\\10\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Für $r=-1$ und $s=1$ ist die Gleichung erfüllt. Somit liegt der Punkt D in der Ebene.