Das hast du gelernt

Parameterform einer Ebene: $E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

$\vec{a}$ : Stützvektor (Punkt auf der Ebene)
$\vec{u}, \vec{v}$ : Spannvektoren (nicht parallel!)
$r, s$ : Parameter

Ebene durch drei Punkte: $E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$

Lineare Unabhängigkeit: Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein: $\vec{u} \neq k \cdot \vec{v}$

Punktprobe: Ein Punkt liegt auf der Ebene, wenn das Gleichungssystem eine Lösung für $r$ und $s$ hat.

Prüfe dich

Aufgabe 1: Ebene aufstellen

Stelle die Parameterform der Ebene durch die Punkte $A(1|0|2)$ , $B(2|1|1)$ und $C(0|2|3)$ auf.

Stützvektor: $\vec{a} = \vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}2-1\\1-0\\1-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$
$\vec{AC} = \begin{pmatrix}0-1\\2-0\\3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Aufgabe 2: Punktprobe

Liegt der Punkt $P(2|3|0)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$ ?

Ansatz: $\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Gleichungssystem: \begin{align*} x: \quad 2 &= 1 + r - s \quad \Rightarrow \quad r - s = 1 \ y: \quad 3 &= 0 + r + 2s \quad \Rightarrow \quad r + 2s = 3 \ z: \quad 0 &= 2 - r + s \quad \Rightarrow \quad -r + s = -2 \end{align*}

Aus (1) und (3): $r - s = 1$ und $-r + s = -2$ Addition: $0 = -1$ → Widerspruch!

P liegt nicht auf der Ebene.

Aufgabe 3: Lineare Unabhängigkeit

Prüfe, ob die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}6\\2\\4\end{pmatrix}$ eine Ebene aufspannen können.

Prüfung auf lineare Abhängigkeit: $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ ?

$\begin{pmatrix}6\\2\\4\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$

Aus jeder Komponente: $k = 2$

Da $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ , sind die Vektoren linear abhängig.

Sie können keine Ebene aufspannen, sondern nur eine Gerade.

Aufgabe 4: Ebene aus Gerade und Punkt

Stelle die Ebene auf, die durch die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ und den Punkt $A(0|0|2)$ verläuft.

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$ (der gegebene Punkt)

Erster Spannvektor: Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Zweiter Spannvektor: Verbindungsvektor von A zu einem Punkt auf der Geraden $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$

Aufgabe 5: Parameter bestimmen

Bestimme die Parameter $r$ und $s$ , für die der Punkt $P(3|1|4)$ auf der Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ liegt.

Ansatz: $\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$

Gleichungssystem: \begin{align*} x: \quad 3 &= 1 + r \quad \Rightarrow \quad r = 2 \ y: \quad 1 &= 0 + r - s = 2 - s \quad \Rightarrow \quad s = 1 \ z: \quad 4 &= 1 + r + 2s = 1 + 2 + 2 = 5 \quad \times \end{align*}

Das System ist nicht lösbar → P liegt nicht auf der Ebene.

Anmerkung: Wenn das System lösbar wäre, hätten wir $r = 2, s = 1$ .

Aufgabe 6: Anwendung Architektur

Ein dreieckiges Dachfenster wird durch drei Eckpunkte definiert:

$E_1(2|0|3)$ (unten links)
$E_2(4|0|3)$ (unten rechts)
$E_3(3|1|4)$ (oben)

Stelle die Parameterform der Fensterfläche auf.
Liegt der Punkt $M(3|0{,}5|3{,}5)$ (Mittelpunkt) auf der Fensterfläche?

Parameterform:

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}$

Spannvektoren:
- $\vec{E_1E_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$
- $\vec{E_1E_3} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
Fensterfläche: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
Punktprobe für M(3|0,5|3,5):

$\begin{pmatrix}3\\0{,}5\\3{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

System: \begin{align*} x: \quad 3 &= 2 + 2r + s \ y: \quad 0{,}5 &= 0 + 0 + s \quad \Rightarrow \quad s = 0{,}5 \ z: \quad 3{,}5 &= 3 + 0 + s = 3 + 0{,}5 = 3{,}5 \quad \checkmark \end{align*}

Aus der ersten Gleichung: $1 = 2r + 0{,}5 \Rightarrow r = 0{,}25$

Ja, M liegt auf der Fensterfläche mit $r = 0{,}25, s = 0{,}5$ .

Aufgabe 7: Verschiedene Darstellungen

Zeige, dass die folgenden Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben:

$E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

$E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$

Strategie: Zeigen, dass der Stützpunkt von $E_2$ auf $E_1$ liegt und die Spannvektoren von $E_2$ Linearkombinationen der Spannvektoren von $E_1$ sind.

1. Punktprobe: Liegt $(2|1|1)$ auf $E_1$ ? $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

System: $r = 1, s = 1$ → Ja, der Punkt liegt auf $E_1$ .

2. Spannvektoren vergleichen:

$\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ ✓
$\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ ✓

Da beide Bedingungen erfüllt sind, beschreiben $E_1$ und $E_2$ dieselbe Ebene.