Formel zur Berechnung des Skalarproduktes

Für zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird das Skalarprodukt wie folgt berechnet:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots + a_n \cdot b_n$

Rechengesetze

Für das Skalarprodukt von den Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ gilt:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (Kommutativgesetz)
2. $r \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} = r \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})$ für jede reele Zahl r. (Assoziativgesetz)
3. $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ (Distributivgesetz)
4. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$