✅ Aufgabensammlung

Formel für den Betrag: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

$$\begin{align*} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5 \\ |\vec{b}| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \\ |\vec{c}| &= \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \end{align*}$$

Einheitsvektor: $\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Für $\vec{u}$:

$|\vec{u}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$

$\vec{e_u} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}$

Für $\vec{v}$:

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$

$\vec{e_v} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

Formel: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 = 2 - 6 - 4 = -8$

b) $\vec{c} \cdot \vec{d} = 5 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + (-3) \cdot 1 = 10 + 0 - 3 = 7$

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

a) $\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 6 - 6 + 0 = 0$ → Die Vektoren sind orthogonal.

b) $\vec{r} \cdot \vec{s} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ → Die Vektoren sind orthogonal.

c) $\vec{v} \cdot \vec{w} = 1 \cdot 4 + (-2) \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 - 10 + 18 = 12$ → Die Vektoren sind nicht orthogonal.

a) $\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ (Beispiel)

Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 2 - 2 + 0 = 0$

b) $\vec{m} = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}$ (Beispiel)

Da $\vec{b} \cdot \vec{m} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 4 = 4 + 0 - 4 = 0$

Formel: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

a) Für $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

$$\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \\ |\vec{a}| &= 1, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ \cos(\alpha) &= \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$$

Daher ist $\alpha = 45°$.

b) Für $\vec{c}$ und $\vec{d}$:

$$\begin{align*} \vec{c} \cdot \vec{d} &= 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 2 - 2 + 2 = 2 \\ |\vec{c}| &= \sqrt{4 + 4 + 1} = 3, \quad |\vec{d}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \\ \cos(\alpha) &= \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9} \end{align*}$$

Daher ist $\alpha \approx 74{,}21°$.

Allgemeine Form: $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

a) Richtungsvektor: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\-1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\-4\end{pmatrix}$

b) Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$

a) Ansatz: $\begin{pmatrix}7\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$

Komponentenweise:

$$\begin{align*} x: \quad 7 &= 1 + 2t \quad \Rightarrow \quad t = 3 \\ y: \quad 1 &= 3 - t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \\ z: \quad 5 &= 1 + 2t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \end{align*}$$

Widerspruch: $t = 3$ vs. $t = 2$. Punkt $P$ liegt nicht auf der Geraden.

b) Ansatz: $\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$

Komponentenweise:

$$\begin{align*} x: \quad 0 &= 2 - s \quad \Rightarrow \quad s = 2 \\ y: \quad 4 &= 2 + s \quad \Rightarrow \quad s = 2 \\ z: \quad 2 &= 0 + s \quad \Rightarrow \quad s = 2 \end{align*}$$

Alle Gleichungen ergeben $s = 2$. Punkt $Q$ liegt auf der Geraden.

Richtungsvektoren vergleichen: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}, \quad \vec{v_2} = \begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}$

$\vec{v_2} = 2 \cdot \vec{v_1}$ → Richtungsvektoren sind kollinear.

Die Geraden sind parallel oder identisch.

Prüfung: Liegt $(1|0|2)$ auf $g_2$? $\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}$

$$\begin{align*} x: \quad 1 &= 3 + 4s \quad \Rightarrow \quad s = -\frac{1}{2} \\ y: \quad 0 &= 2 + 2s \quad \Rightarrow \quad s = -1 \end{align*}$$

Widerspruch → Die Geraden sind echt parallel.

Formel für Schnittwinkel: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Mit $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$:

$$\begin{align*} \vec{v_1} \cdot \vec{v_2} &= 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 \\ |\vec{v_1}| &= \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \\ |\vec{v_2}| &= \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5} \\ \cos(\alpha) &= \frac{|2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} \end{align*}$$

Daher ist $\alpha \approx 50{,}8°$.

Stützvektor: $\vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$$\begin{align*} \vec{AB} &= \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} \\ \vec{AC} &= \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix} \end{align*}$$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$

Ansatz: $\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

$$\begin{align*} x: \quad 2 &= 1 + r \quad \Rightarrow \quad r = 1 \\ y: \quad 3 &= 1 + 2s \quad \Rightarrow \quad s = 1 \\ z: \quad 1 &= 2 + r - s = 2 + 1 - 1 = 2 \end{align*}$$

Widerspruch in der z-Komponente: $1 \neq 2$.

Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Ebene.

Normalenvektor durch Kreuzprodukt der Spannvektoren:

$\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 - 0 \cdot 1\\0 \cdot 0 - 1 \cdot 2\\1 \cdot 1 - 1 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$

Koordinatenform: $2x - 2y + z = d$

Bestimmung von $d$ mit Stützpunkt $(2|0|1)$: $d = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$

Koordinatenform: $2x - 2y + z = 5$

Formel für Punkt-Ebene-Abstand: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Mit $P(1|2|3)$ und $E: 2x + y - 2z - 6 = 0$:

$d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|2 + 2 - 6 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-8|}{3} = \frac{8}{3}$

Der Abstand beträgt $\frac{8}{3}$ Längeneinheiten.

Normalenvektor der Ebene: $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ Richtungsvektor der Gerade: $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

Prüfung auf Parallelität: $\vec{n} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 2 + 1 = 5 \neq 0$

Da das Skalarprodukt ungleich null ist, sind Gerade und Ebene nicht parallel.

Schnittpunkt bestimmen: Setze Gerade in Ebene ein: $(1 + 2t) + 2(0 + t) - (2 - t) = 3$

$1 + 2t + 2t - 2 + t = 3$ $5t - 1 = 3$ $t = \frac{4}{5}$

Schnittpunkt: $S = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + \frac{4}{5} \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{13}{5}\\\frac{4}{5}\\\frac{6}{5}\end{pmatrix}$

Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt $S$.