Formeln für Schnittwinkel von Geraden

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ wird berechnet durch:

$\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\right)$

Der Schnittwinkel liegt immer im Bereich $0° \leq \alpha \leq 90°$.

Der Betrag $|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|$ im Zähler sorgt dafür, dass:

• Immer der kleinere der beiden möglichen Winkel berechnet wird
• Der Schnittwinkel zwischen 0° und 90° liegt
• Die Orientierung der Richtungsvektoren keine Rolle spielt

Richtungsvektoren: $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$

Ohne Betrag: $\cos(\beta) = \frac{-1}{1 \cdot 1} = -1 \Rightarrow \beta = 180°$

Mit Betrag: $\cos(\alpha) = \frac{|-1|}{1 \cdot 1} = 1 \Rightarrow \alpha = 0°$

Die Geraden sind parallel → Schnittwinkel = 0°

Algorithmus für Geraden $g_1: \vec{x} = \vec{a_1} + t \cdot \vec{v_1}$ und $g_2: \vec{x} = \vec{a_2} + s \cdot \vec{v_2}$:

1. Richtungsvektoren identifizieren: $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$

2. Skalarprodukt berechnen: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$

3. Beträge berechnen: $|\vec{v_1}|$ und $|\vec{v_2}|$

4. Betrag des Skalarprodukts: $|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|$

5. Cosinus berechnen: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

6. Schnittwinkel bestimmen: $\alpha = \arccos(\cos(\alpha))$

Gegeben: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Schritt 1: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Schritt 2: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 - 2 = -2$

Schritt 3: $|\vec{v_1}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$, $|\vec{v_2}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$

Schritt 4: $|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}| = |-2| = 2$

Schritt 5: $\cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$

Schritt 6: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \approx 73{,}2°$

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind: $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ für ein $k \neq 0$

Bei parallelen Geraden ist der Schnittwinkel immer 0°.

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}$ und $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix}$

Prüfung: $\vec{v_1} = -3 \cdot \vec{v_2} = -3 \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-3\\9\end{pmatrix}$

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig → Geraden sind parallel → Schnittwinkel = 0°

Zwei Geraden sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

Bei orthogonalen Geraden ist der Schnittwinkel immer 90°.

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 3 - 2 - 1 = 0$

Die Richtungsvektoren sind orthogonal → Geraden stehen senkrecht → Schnittwinkel = 90°

Wichtig: Eine Gerade kann verschiedene Richtungsvektoren haben. Der Schnittwinkel bleibt dabei unverändert!

Die Gerade $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$ kann auch dargestellt werden als:

• $g: \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ (Faktor $\frac{1}{2}$)
• $g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \begin{pmatrix}-4\\-8\\4\end{pmatrix}$ (Faktor $-2$)

Alle Darstellungen ergeben denselben Schnittwinkel mit anderen Geraden.