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Die Funktion $f(t)$ beschreibt die momentane Zufuhrgeschwindigkeit des Medikaments. Es gilt $f(t) > 0$ für alle $t \geq 0$, da die Exponentialfunktion immer positiv ist. Das bedeutet, dass die Wirkstoffmenge im Körper zunimmt.

Die Funktion $f(t)$ beschreibt die momentane Zufuhrgeschwindigkeit des Medikaments. Um die gesamte Wirkstoffmenge im Blut nach 4 Stunden zu berechnen, müssen wir das Integral der Funktion $f(t)$ von 0 bis 4 berechnen:

$$\begin{align*} F(t) &= \int_0^t f(t) \, dt \\ F(t) &= \int_0^4 5 \cdot e^{-0,3 \cdot t} \, dt \\ F(t) &= \left[-\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t}\right]_0^4 \\ F(t) &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot 4} + \frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot 0} \\ F(t) &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-1,2} + \frac{5}{0,3} \\ F(t) &\approx -\frac{5}{0,3} \cdot 0,3012 + \frac{5}{0,3} \\ F(t) &\approx -\frac{5 \cdot 0,3012}{0,3} + \frac{5}{0,3} \\ F(t) &\approx -5,02 + 16,67 \\ F(t) &\approx 11,65 \text{ mg} \end{align*}$$

Um die Zeit zu berechnen, nach der 10 mg Wirkstoff im Blut sind, setzen wir $F(t) = 10$ und lösen die Gleichung:

$$\begin{align*} F(t) &= 10 \\ 10 &= \int_0^t f(t) \, dt \\ 10 &= \int_0^t 5 \cdot e^{-0,3 \cdot t} \, dt \\ 10 &= \left[-\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t}\right]_0^t \\ 10 &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t} + \frac{5}{0,3} \\ 10 &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t} + \frac{5}{0,3} \\ 10 - \frac{5}{0,3} &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t} \\ 10 - 16,67 &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t} \\ -6,67 &= -\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t} \\ 0,4002 &= e^{-0,3 \cdot t} \\ \ln(0,4002) &= -0,3 \cdot t \\ \frac{\ln(0,4002)}{-0,3} &= t \\ t &\approx \frac{-0,9163}{-0,3} \\ t &\approx 3,05 \text{ Stunden} \end{align*}$$

Die maximale Wirkstoffmenge wird erreicht, wenn die Zufuhrgeschwindigkeit $f(t)$ gegen 0 geht. Das bedeutet, dass die Exponentialfunktion $e^{-0,3 \cdot t}$ gegen 0 geht. Daher ist die maximale Wirkstoffmenge:

$$\begin{align*} \lim_{t \to \infty} F(t) &= \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{5}{0,3} \cdot e^{-0,3 \cdot t}\right]_0^t \\ &= \lim_{t \to \infty} \left[-\frac{5}{0,3} \cdot 0\right] + \frac{5}{0,3} \\ &= 0 + \frac{5}{0,3} \\ &= \frac{5}{0,3} \\ &\approx 16,67 \text{ mg} \end{align*}$$

Um die Graphen der beiden Ableitungen

$$f'(x) = e^{0{,}5x} \quad \text{und} \quad g'(x) = 0{,}9e^{0{,}3x}$$

zu vergleichen, analysieren wir folgende Aspekte:

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1. Definitionsbereich

Beide Funktionen sind Exponentialfunktionen mit positiven Basen:

• $e^{0{,}5x}$ und $e^{0{,}3x}$ sind für alle reellen Zahlen definiert.
• Definitionsbereich beider Funktionen: $\mathbb{R}$

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2. Wertebereich

Da der Exponentialausdruck $e^x > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$, gilt:

• $f'(x) = e^{0{,}5x} > 0$
• $g'(x) = 0{,}9e^{0{,}3x} > 0$

Wertebereich:

• $f'(x) \in (0, \infty)$
• $g'(x) \in (0, \infty)$

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3. Monotonieverhalten

Exponentialfunktionen mit positivem Exponenten sind streng monoton steigend:

• $f'(x) = e^{0{,}5x}$ steigt schneller als $g'(x) = 0{,}9e^{0{,}3x}$, da $0{,}5 > 0{,}3$.

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4. Verhalten im Unendlichen

• Für $x \to \infty$:

  • $f'(x) \to \infty$ deutlich schneller als $g'(x)$

• Für $x \to -\infty$:

  • Beide Funktionen gehen gegen 0, wobei $f'(x) \to 0$ schneller als $g'(x)$

Das liegt am Exponenten der e-Funktion:

• $e^{0{,}5x}$ geht schneller gegen 0 für $x \to -\infty$ als $e^{0{,}3x}$, da $0{,}5 > 0{,}3$.

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5. Achsenschnittpunkte

y-Achsen-Schnittpunkt (bei $x = 0$):

• $f'(0) = e^{0} = 1$
• $g'(0) = 0{,}9e^{0} = 0{,}9$

Also schneidet $f'$ die y-Achse oberhalb von $g'$.

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Fazit (Vergleich in Stichpunkten)

Aspekt	$f'(x) = e^{0{,}5x}$	$g'(x) = 0{,}9e^{0{,}3x}$
Definitionsbereich	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Wertebereich	$(0, \infty)$	$(0, \infty)$
Monotonie	streng steigend	streng steigend
Wachstum	schneller wachsend	langsamer wachsend
Verhalten bei $x \to -\infty$	$\to 0$ schneller	$\to 0$ langsamer
Verhalten bei $x \to \infty$	$\to \infty$ schneller	$\to \infty$ langsamer
y-Achsen-Schnittpunkt	1	0,9

Um die Tangente an der Stelle $x = 0$ zu bestimmen, berechnen wir den Funktionswert und die Ableitung an dieser Stelle.

$$\begin{align*} f'(0) &= 2 \cdot 0,5 \cdot e^{0} = 1 \end{align*}$$

Jetzt setzen wir diesen Wert in die Tangentengleichung ein:

$$\begin{align*} T(x) &= f(0) + f'(0) \cdot (x - 0) \\ T(x) &= 2 + 1 \cdot x \\ T(x) &= x + 2 \end{align*}$$

Das Gleiche machen wir für $g(x)$:

$$\begin{align*} g'(0) &= 3 \cdot 0,3 \cdot e^{0} = 0,9 \end{align*}$$

Jetzt setzen wir diesen Wert in die Tangentengleichung ein:

$$\begin{align*} T(x) &= g(0) + g'(0) \cdot (x - 0) \\ T(x) &= 3 + 0,9 \cdot x \\ T(x) &= 0,9 \cdot x + 3 \end{align*}$$