Aufgaben

Ebene aus drei Punkten aufstellen

Stelle die Parameterform der Ebene auf, die durch die gegebenen drei Punkte verläuft.

$A(1|0|3)$ , $B(0|2|1)$ und $C(2|2|4)$

Stützvektor: $\vec{a} = \vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}0-1\\2-0\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$
$\vec{AC} = \begin{pmatrix}2-1\\2-0\\4-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$

$A(0|1|2)$ , $B(3|3|3)$ und $C(-1|1|4)$

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$
$\vec{AC} = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

$P(2|-1|0)$ , $Q(1|1|2)$ und $R(0|0|1)$

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{PQ} = \begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}$
$\vec{PR} = \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$

Punktprobe

Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf der Ebene liegen.

Ebene: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

$P(2|2|1)$

Ansatz: $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

\begin{align*} x: \quad 2 &= 1 + r \quad \Rightarrow \quad r = 1 \\ y: \quad 2 &= 2 + s \quad \Rightarrow \quad s = 0 \\ z: \quad 1 &= 0 + r + 2s = 1 + 0 = 1 \quad \checkmark \end{align*}

P liegt auf der Ebene mit $r = 1, s = 0$ .

$Q(1|4|4)$

Ansatz: $\begin{pmatrix}1\\4\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

\begin{align*} x: \quad 1 &= 1 + r \quad \Rightarrow \quad r = 0 \\ y: \quad 4 &= 2 + s \quad \Rightarrow \quad s = 2 \\ z: \quad 4 &= 0 + 0 + 4 = 4 \quad \checkmark \end{align*}

Q liegt auf der Ebene mit $r = 0, s = 2$ .

Ebene aus Gerade und Punkt

Stelle die Parameterform der Ebene auf, die durch die Gerade und den gegebenen Punkt verläuft.

Gerade: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$ Punkt: $A(0|0|1)$

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ (der gegebene Punkt)

Erster Spannvektor: Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}$

Zweiter Spannvektor: Verbindungsvektor vom Punkt A zu einem Punkt auf der Gerade (z.B. zum Stützpunkt der Geraden): $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}$

Gerade: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ Punkt: $B(0|2|0)$

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ (Richtungsvektor)
$\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Lineare Unabhängigkeit prüfen

Prüfe, ob die Spannvektoren linear unabhängig sind und eine Ebene aufspannen.

$\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}$

Prüfung: $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ ?

$\begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$

Aus jeder Komponente: $k = 2$

Da $\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ , sind die Vektoren linear abhängig.

Sie spannen keine Ebene auf, sondern nur eine Gerade.

$\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$

Prüfung: Ist $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ für ein $k$ ?

$\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Aus der ersten Komponente: $0 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 0$ Aus der zweiten Komponente: $1 = k \cdot 0$ → Widerspruch!

Die Vektoren sind linear unabhängig und spannen eine Ebene auf.

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Sachaufgaben.

Dachfläche

Ein Dach wird durch drei Punkte definiert:

Firstpunkt: $F(5|10|8)$
Eckpunkt links: $L(0|0|4)$
Eckpunkt rechts: $R(10|0|4)$

Stelle die Parameterform der Dachfläche auf.

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}5\\10\\8\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{FL} = \begin{pmatrix}0-5\\0-10\\4-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\-10\\-4\end{pmatrix}$
$\vec{FR} = \begin{pmatrix}10-5\\0-10\\4-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\-10\\-4\end{pmatrix}$

Dachfläche: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}5\\10\\8\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-5\\-10\\-4\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\-10\\-4\end{pmatrix}$

Tischplatte

Eine dreieckige Tischplatte hat die Eckpunkte: $A(0|0|1)$ , $B(2|0|1)$ , $C(1|1{,}5|1)$

Stelle die Parameterform der Tischplatte auf.
Liegt der Punkt $P(1|0{,}5|1)$ auf der Tischplatte?

Parameterform:

Stützvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

Spannvektoren:
- $\vec{AB} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$
- $\vec{AC} = \begin{pmatrix}1\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$
Tischplatte: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$
Punktprobe für P(1|0,5|1):

$\begin{pmatrix}1\\0{,}5\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1{,}5\\0\end{pmatrix}$

System:
$\begin{align*} x: \quad 1 &= 0 + 2r + s \\ y: \quad 0{,}5 &= 0 + 0 + 1{,}5s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{1}{3} \\ z: \quad 1 &= 1 + 0 + 0 \quad \checkmark \end{align*}$
Aus der ersten Gleichung: $1 = 2r + \frac{1}{3} \Rightarrow r = \frac{1}{3}$

Ja, P liegt auf der Tischplatte mit $r = \frac{1}{3}, s = \frac{1}{3}$ .

Wähle den Richtungsvektor der Geraden als ein Spannvektor.

Wähle den Vektor zwischen dem Punkt P und dem Aufpunkt der Geraden als zweiten Richtungsvektor.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden aufstellen

Gegeben sind die Geraden g und f. Zeige, dass die Geraden sich schneiden. Gib die Parameterform der Ebene an, die durch die Geraden festgelegt ist.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\-3\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}6\\1\\-2\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

f: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\13\\3\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

Nimm die Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren der Ebene.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\13\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}6\\1\\-2\end{pmatrix}, \ s,t \in \mathbb{R}

Ebene aus zwei parallelen Geraden aufstellen

Gegeben sind die Geraden g und f. Zeige, dass die Geraden parallel sind. Gib die Parameterform der Ebene an, die durch die Geraden festgelegt ist.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

f: \vec{x} = \begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-1\\-3\end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}

Bestimme drei Punkte aus den Geraden, um die Ebene aufzustellen.

Wähle die Aufpunkte der Geraden und einen weiteren zum Beispiel für $s = 1$ .

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}7\\-6\\-2\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}