Formeln für die Parameterform von Ebenen

Die Parameterform einer Ebene lautet:

$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

mit:

• $\vec{x}$: Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Ebene
• $\vec{a}$: Stützvektor (Ortsvektor eines festen Punktes auf der Ebene)
• $\vec{u}, \vec{v}$: Spannvektoren (nicht parallel!)
• $r, s \in \mathbb{R}$: Parameter

Eine Ebene durch die Punkte $A(x_1|y_1|z_1)$, $B(x_2|y_2|z_2)$ und $C(x_3|y_3|z_3)$ hat die Gleichung:

$E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$

mit den Spannvektoren:

• $\vec{AB} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1\\y_2 - y_1\\z_2 - z_1\end{pmatrix}$
• $\vec{AC} = \begin{pmatrix}x_3 - x_1\\y_3 - y_1\\z_3 - z_1\end{pmatrix}$

Bedingung: A, B, C dürfen nicht kollinear sein.

Ebene durch $A(1|0|2)$, $B(3|1|1)$ und $C(0|2|3)$:

Spannvektoren:

• $\vec{AB} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
• $\vec{AC} = \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Ein Punkt $P(x_P|y_P|z_P)$ liegt auf der Ebene $E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$, wenn die Gleichung:

$\begin{pmatrix}x_P\\y_P\\z_P\end{pmatrix} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

eine Lösung für $r$ und $s$ besitzt.

Liegt $P(4|3|0)$ auf $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$?

Ansatz: $\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Gleichungssystem: \begin{align*} x: \quad 4 &= 1 + 2r - s \quad \Rightarrow \quad 2r - s = 3 \ y: \quad 3 &= 0 + r + 2s \quad \Rightarrow \quad r + 2s = 3 \ z: \quad 0 &= 2 - r + s \quad \Rightarrow \quad -r + s = -2 \end{align*}

Lösung: $r = 1, s = 1$ → Ja, P liegt auf der Ebene.

Die Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ müssen linear unabhängig sein:

$\vec{u} \neq k \cdot \vec{v}$ für alle $k \in \mathbb{R}$

Falls sie linear abhängig sind, beschreibt die Gleichung nur eine Gerade.

Prüfe: $\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}$

$\vec{v} = 2 \cdot \vec{u}$ → Die Vektoren sind linear abhängig!

Diese "Ebenengleichung" beschreibt nur eine Gerade.

Ein Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebene und kann aus den Spannvektoren berechnet werden:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ (Kreuzprodukt)

Für $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Eine Ebene kann unendlich viele verschiedene Parameterdarstellungen haben:

• Verschiedene Stützvektoren (verschiedene Punkte auf der Ebene)
• Verschiedene Spannvektoren (Vielfache, Linearkombinationen)

Diese Darstellungen beschreiben dieselbe Ebene:

$E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

$E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} + v \cdot \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$

Beide beschreiben die xy-Ebene ($z = 0$).