Geraden im Raum

Von der Ebene in den Raum

In der Ebene hattest du bereits Geraden kennengelernt. Nun erweitern wir das Konzept auf den dreidimensionalen Raum.

Forschungsauftrag

Stelle dir vor, du willst den Flugweg eines Flugzeugs beschreiben, das vom Flughafen München nach Hamburg fliegt.

Welche Informationen benötigst du, um eine Gerade im Raum eindeutig zu beschreiben?

Du benötigst:

Einen Punkt auf der Geraden (z.B. Startpunkt)
Eine Richtung (Richtungsvektor)

Wie unterscheidet sich eine Gerade im Raum von einer Geraden in der Ebene?

In der Ebene: Gerade wird durch Gleichung $y = mx + b$ oder $ax + by = c$ beschrieben
Im Raum: Gerade wird durch Parameterform mit Ortsvektor und Richtungsvektor beschrieben

Können sich zwei Geraden im Raum schneiden, ohne sich zu kreuzen?

Ja! Im Raum gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Geraden können sich schneiden (haben einen gemeinsamen Punkt)
Geraden können parallel sein
Geraden können windschief sein (haben keinen Schnittpunkt, sind aber nicht parallel)

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade im Raum wird durch die Parameterform beschrieben:

$g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

wobei:

$\vec{a}$ der Ortsvektor (Stützvektor) ist - ein bekannter Punkt auf der Gerade
$\vec{v}$ der Richtungsvektor ist - gibt die Richtung der Geraden an
$t$ der Parameter ist - kann alle reellen Zahlen annehmen

Beispiel

Die Gerade durch die Punkte $A(1|2|3)$ und $B(4|1|7)$ :

Ortsvektor: $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ (Punkt A)
Richtungsvektor: $\vec{v} = \vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$
Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

Punkte auf einer Geraden

Ein Punkt P liegt auf der Geraden $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ , wenn es einen Parameterwert $t$ gibt, so dass:

$\vec{OP} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

Beispiel

Gegeben: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

Liegt der Punkt $P(4|5|6)$ auf der Geraden?

Ansatz: $\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$

Auflösen ergibt: $t = 2$ → Ja, P liegt auf der Geraden.

Verschiedene Richtungsvektoren

Eine Gerade kann unendlich viele verschiedene Darstellungen haben! Jeder Vektor, der parallel zum ursprünglichen Richtungsvektor ist, kann als Richtungsvektor verwendet werden.

Beispiel

Diese Darstellungen beschreiben dieselbe Gerade:

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor in $g_2$ ist das Doppelte des Richtungsvektors in $g_1$ .