Formeln für Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird berechnet durch:

$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Der Winkel liegt immer im Bereich $0° \leq \alpha \leq 180°$.

Das Skalarprodukt kann geometrisch interpretiert werden als:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Daraus folgt: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Algorithmus zur Winkelberechnung zwischen $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$:

1. Skalarprodukt berechnen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

2. Beträge berechnen:

   • $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
   • $|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$

3. Cosinus berechnen: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

4. Winkel bestimmen: $\alpha = \arccos(\cos(\alpha))$

Berechne den Winkel zwischen $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{q} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$.

Schritt 1: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 + 2 - 2 = 2$

Schritt 2:

• $|\vec{p}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
• $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Schritt 3: $\cos(\alpha) = \frac{2}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$

Schritt 4: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \approx 73{,}9°$

Wichtige Spezialfälle:

Parallelitätsbedingung: Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind parallel, wenn: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ für ein $k \neq 0$

Orthogonalitätsbedingung: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Parallelität prüfen: $\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

$\vec{u} = 2 \cdot \vec{v}$ → Die Vektoren sind parallel mit $\alpha = 0°$.

Orthogonalität prüfen: $\vec{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

$\vec{r} \cdot \vec{s} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

→ Die Vektoren sind orthogonal mit $\alpha = 90°$.