✏️ Übungen: Fläche zwischen zwei Graphen

Musterbeispiel

Berechne die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen $f(x) = x^2 -8x +14$ und $g(x) = -x^2 +6x -6$ .

f(x)=x^2-8x+14 g(x)=-x^2+6x-6 A = Integral(f,g,2,5) ShowLabel(A, false)

Zuerst berechnen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Dazu setzen wir $f(x) = g(x)$ :

\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^2 -8x +14 &= -x^2 +6x -6 \\ 2x^2 -14x +20 &= 0 \\ x^2 -7x +10 &= 0 \\ x_{1,2} &= \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 10} \\ x_{1,2} &= \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} - 10} \\ x_{1,2} &= \frac{7}{2} \pm 1,5 \\ x_1 &= 5, x_2 = 2 \end{align*}

Die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen wir, indem wir die Differenz der beiden Flächen berechnen:

\begin{align*} A &= \int_{2}^{5} f(x) - g(x) \, dx \\ &= \int_{2}^{5} (x^2 -8x +14) - (-x^2 +6x -6) \, dx \\ &= \int_{2}^{5} 2x^2 -14x +20 \, dx \\ &= \left[ \frac{2}{3}x^3 -7x^2 +20x \right]_{2}^{5} \\ &= \left( \frac{2}{3} \cdot 5^3 -7 \cdot 5^2 +20 \cdot 5 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 2^3 -7 \cdot 2^2 +20 \cdot 2 \right) \\ &= -9 \end{align*}

Skizziere die beiden Funktionen und berechne die Fläche zwischen den Graphen.

a) $f(x)=x^3-x^2-4x+4$ und $g(x)=-x^2+4$

f(x)=x^3-x^2-4x+4 g(x)=-x^2+4 A = Integral(f,g,-2,2) ShowLabel(A, false)

Schnittpunkte: $S_1(-2|0); S_2(0|4); S_3(2|0)$

Fläche: $A = 8$

b) $f(x)=x^2-4x+4$ und $g(x)=x-2$

f(x)=x^2-4x+4 g(x)=x-2 A = Integral(f,g,2,3) ShowLabel(A, false)

Schnittpunkte: $S_1(2|0); S_2(3|1)$

Fläche: $A = \frac{1}{6}$

c) $f(x)=2x^2-3x+2$ und $g(x)=x^2-2x+2$

f(x)=2x^2-3x+2 g(x)=x^2-2x+2 A = Integral(f,g,0,1) ShowLabel(A, false)

Schnittpunkte: $S_1(0|2); S_2(1|1)$

Fläche: $A = \frac{1}{6}$

d) $f(x)=x^3-3x^2+2x$ und $g(x)=x^2-x$

f(x)=x^3-3x^2+2x g(x)=x^2-x A = Integral(f,g,0,3) ShowLabel(A, false)

Schnittpunkte: $S_1(0|0); S_2(1|0); S_3(3|6)$

Fläche: $A = 2,25$

e) $f(x)=4x-x^2+4$ und $g(x)=x^2-4x+4$

f(x)=4x-x^2+4 g(x)=x^2-4x+4 A = Integral(f,g,0,4) ShowLabel(A, false)

Schnittpunkte: $S_1(0|4); S_2(4|4)$

Fläche: $A \approx 21,33$