✏️ Die Produktregel üben

Aufgabe 1

Bestimme die Ableitung der Funktionen:

a) $f(x) = 3x \cdot e^{2x}$

Zuerst identifizieren wir die beiden Funktionen, die wir ableiten müssen:

\begin{align*} u(x) &= 3x \\ v(x) &= e^{2x} \\ \end{align*}

Dann berechnen wir die Ableitungen:

\begin{align*} u'(x) &= 3 \\ v'(x) &= 2 e^{2x} \\ f'(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f'(x) &= 3 e^{2x} + 3x \cdot 2 e^{2x} \\ f'(x) &= 3 e^{2x} (1 + 2x) \end{align*}

b) $f(x) = 5x^2 \cdot e^{3x}$

Zuerst identifizieren wir die beiden Funktionen, die wir ableiten müssen:

\begin{align*} u(x) &= 5x^2 \\ v(x) &= e^{3x} \\ \end{align*}

Dann berechnen wir die Ableitungen:

\begin{align*} u'(x) &= 10x \\ v'(x) &= 3 e^{3x} \\ f'(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f'(x) &= 10x e^{3x} + 5x^2 \cdot 3 e^{3x} \\ f'(x) &= e^{3x} (10x + 15x^2) \\ \end{align*}

c) $f(x) = x^3 \cdot \sin(x)$

Zuerst identifizieren wir die beiden Funktionen, die wir ableiten müssen:

\begin{align*} u(x) &= x^3 \\ v(x) &= \sin(x) \end{align*}

Dann berechnen wir die Ableitungen:

\begin{align*} u'(x) &= 3x^2 \\ v'(x) &= \cos(x) \\ f'(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f'(x) &= 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \\ f'(x) &= \sin(x) \cdot 3x^2 + x^3 \cdot \cos(x) \\ f'(x) = 3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x) \end{align*}

Analysiere die Funktion $f(x) = 4x \cdot e^{-0.5x}$ .

a) Bestimme die Nullstellen der Funktion.

Zuerst setzen wir die Funktion gleich Null:

f(x) = 4x \cdot e^{-0.5x} = 0

Nun können wir die Nullstellen bestimmen. Da $e^{-0.5x}$ für alle $x$ ungleich Null ist, setzen wir nur den anderen Faktor gleich Null:

4x = 0 \implies x = 0

Somit hat die Funktion eine Nullstelle bei $x = 0$ .

b) Bestimme die Extrempunkte der Funktion.

Zuerst berechnen wir die Ableitung der Funktion:

\begin{align*} u(x) &= 4x \\ v(x) &= e^{-0.5x} \\ u'(x) &= 4 \\ v'(x) &= -0.5 e^{-0.5x} \\ f'(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f'(x) &= 4 e^{-0.5x} + 4x \cdot (-0.5 e^{-0.5x}) \\ f'(x) &= e^{-0.5x} (4 - 2x) \end{align*}

Es ist wichtig, dass wir den Funktionsterm ganz zusammenfassen. Denn für die Bestimmung der Extrempunkte setzen wir die Ableitung gleich Null:

f'(x) = e^{-0.5x} (4 - 2x) = 0

Jetzt können wir wieder den Faktor $e^{-0.5x}$ ignorieren, da er für alle $x$ ungleich Null ist. Wir setzen nur den anderen Faktor gleich Null:

4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2

Also hat die Funktion einen Extrempunkt bei $x = 2$ .

Um herauszufinden, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, untersuchen wir das Vorzeichen der Ableitung vor und nach dem Punkt $x = 2$ :

\begin{align*} f'(1) &= e^{-0.5 \cdot 1} (4 - 2 \cdot 1) = e^{-0.5} (4 - 2) = e^{-0.5} \cdot 2 > 0 \quad (\text{steigend}) \\ f'(3) &= e^{-0.5 \cdot 3} (4 - 2 \cdot 3) = e^{-1.5} (4 - 6) = e^{-1.5} \cdot (-2) < 0 \quad (\text{fallend}) \end{align*}

Daraus folgt, dass die Funktion bei $x = 2$ ein Maximum hat.

Wir hätten auch die zweite Ableitung $f''(x)$ bilden können, um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

c) Untersuche die Funktion auf Wendestellen.

Um die Wendestellen zu finden, müssen wir die zweite Ableitung der Funktion bestimmen:

\begin{align*} u(x) &= e^{-0.5x} \\ v(x) &= 4 - 2x \\ u'(x) &= -0.5 e^{-0.5x} \\ v'(x) &= -2 \\ f''(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f''(x) &= (-0.5 e^{-0.5x}) (4 - 2x) + e^{-0.5x} (-2) \\ f''(x) &= e^{-0.5x} \left(-0.5 (4 - 2x) - 2\right) \\ f''(x) &= e^{-0.5x} \left(-4 + x\right) \\ \end{align*}

Hier setzen wir die zweite Ableitung gleich Null, um die Wendestellen zu finden:

f''(x) = e^{-0.5x} (-4 + x) = 0

Nun können wir wieder den Faktor $e^{-0.5x}$ ignorieren, da er für alle $x$ ungleich Null ist. Wir setzen nur den anderen Faktor gleich Null:

-4 + x = 0 \implies x = 4

Jetzt überprüfen wir, ob es sich um eine Wendestelle handelt, indem wir die dritte Ableitung $f'''(x)$ betrachten:

\begin{align*} u(x) &= e^{-0.5x} \\ v(x) &= -4 + x \\ u'(x) &= -0.5 e^{-0.5x} \\ v'(x) &= 1 \\ f'''(x) &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \\ f'''(x) &= (-0.5 e^{-0.5x})(-4 + x) + e^{-0.5x}(1) \\ f'''(x) &= e^{-0.5x} \left(-0.5(-4 + x) + 1\right) \\ f'''(x) &= e^{-0.5x} \left(3 - 0.5x\right) \end{align*}

Jetzt setzen wir $x = 4$ in die dritte Ableitung ein:

f'''(4) = e^{-0.5 \cdot 4} (3 - 0.5 \cdot 4) = e^{-2} (3 - 2) = e^{-2} \neq 0

Daraus folgt, dass es sich um eine Wendestelle handelt.