✏️ Sachaufgaben

Gib zunächst an, mit welchem Wachstumsmodell der Sachkontext beschrieben werden kann, und löse dann die Aufgaben.

Aufgabe 1

Bei einer Bank kann Geld zu einem Zinssatz von 5,2 % p.a. (per annum / pro Jahr) angelegt werden.

Exponentielle Zunahme: $f(t) = a \cdot q^t$

Wobei $a$ das Anfangskapital, $q$ der Wachstumsfaktor und $t$ die Zeit in Jahren ist.

a) Berechne das Kapital nach neun Jahren, wenn 2000 € angelegt und die Zinsen angesammelt werden.

Wir kennen die Wachstumsrate $p = 5,2 \% = 0,052$ und das Anfangskapital $f(0) = 2000$ . Aus der Wachstumsrate können wir den Wachstumsfaktor $q = 1 + p = 1,052$ berechnen. Die Funktion $f(t) = 2000 \cdot 1,052^t$ beschreibt das Kapital nach $t$ Jahren.

Um das Kapital nach neun Jahren zu berechnen, setzen wir $t = 9$ in die Funktion ein:

$f(9) = 2000 \cdot 1,052^9 \approx 3156,25$

b) Ermittle, nach wie vielen Jahren man Euro-Millionär wäre, wenn man 10.000 € anlegen und die Zinsen ansammeln würde.

Wir nutzen die Funktion $f(t) = 10000 \cdot 1,052^t$ und setzen $f(t) = 1000000$ :

\begin{aligned} 10000 \cdot 1,052^t &= 1000000 \ | : 10000\\ 1,052^t &= 100 \ | \log_{1,052}(\dots)\\ t &= \log_{1,052}(100) \approx 90,84 \end{aligned}

Nach ungefähr 91 Jahren wären wir Euro-Millionär.

c) Alina schlägt vor, doppelt so viel Geld anzulegen, also 20.000 €, damit es nur halb so lange dauert, bis man Euro-Millionär ist. Beurteile diesen Vorschlag.

Wir setzen $f(t) = 20000 \cdot 1,052^t = 1000000$ :

\begin{aligned} 20000 \cdot 1,052^t &= 1000000 \ | : 20000\\ 1,052^t &= 50 \ | \log_{1,052}(\dots)\\ t &= \log_{1,052}(50) \approx 77,17 \end{aligned}

Die Zeit, um Euro-Millionär zu werden, beträgt also etwa 77 Jahre. Der Vorschlag von Alina ist also nicht korrekt.

Aufgabe 2

Der radioaktive Stoff Cäsium-137 hat eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren. Zu Beginn einer Beobachtung sind 250 mg Cäsium-137 vorhanden.

Exponentielle Abnahme: $f(t) = a \cdot q^t$

Wobei $a$ das Anfangskapital, $q$ der Wachstumsfaktor und $t$ die Zeit in Jahren ist.

a) Berechnen Sie, wie viel mg des radioaktiven Stoffes nach drei Jahren vorhanden sind.

Wir kennen die Halbwertszeit $30$ Jahre und die Anfangsmenge von $250 mg$ . Das heißt nach $30$ Jahren ist nur noch die Hälfte der Menge vorhanden, also $125 mg$ . Damit kann man den Wachstumsfaktor $q$ berechnen:

\begin{aligned} 250 \cdot q^{30} &= 125 | : 250 \\ q^{30} &= \frac{125}{250} = \frac{1}{2} | \sqrt[30]{\dots} \\ q &= \sqrt[30]{\frac{1}{2}} \end{aligned}

Die Funktion $f(t) = 250 \cdot \left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^t$ beschreibt die Menge des radioaktiven Stoffes nach $t$ Jahren. Um die Menge nach drei Jahren zu berechnen, setzen wir $t = 3$ in die Funktion ein:

$f(3) = 250 \cdot \left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^3 \approx 233,26$

Das bedeutet, dass nach drei Jahren noch etwa 233,26 mg des radioaktiven Stoffes vorhanden sind.

b) Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren nur noch 50 mg vorhanden sind.

Wir setzen $f(t) = 250 \cdot \left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^t = 50$ :

\begin{aligned} 250 \cdot \left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^t &= 50 | : 250\\ \left(\sqrt[30]{\frac{1}{2}}\right)^t &= \frac{50}{250} = \frac{1}{5} | \log_{\sqrt[30]{\frac{1}{2}}}(\dots)\\ t &= \log_{\sqrt[30]{\frac{1}{2}}}(\frac{1}{5}) \approx 69,66 \end{aligned}

Nach etwa 70 Jahren sind nur noch 50 mg des radioaktiven Stoffes vorhanden.

Aufgabe 3

Der Tarif des Ökostrom-Anbieters GREENLINE verlangt eine jährliche Grundge- bühr von 185 € und berechnet 22,7 Cent pro verbrauchter Kilowattstunde (kWh).

a) Berechnen Sie die Stromkosten in diesem Tarif, wenn man 2800 Kilowattstunden im Jahr verbraucht.

b) Ermitteln Sie, wie viel Energie in Kilowattstunden man für 600 € bei dem genannten Tarif in einem Jahr nutzen kann.