Aufgaben

Berechnen

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

$\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\2\\1\end{pmatrix}$

$\vec{v} \cdot \vec{w} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 10$

$\vec{v} = \begin{pmatrix}-2\\2\\-3\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\2\\-3\end{pmatrix}$

$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3) = 9$

$\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}$

$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2$

Orthogonalität prüfen

Überprüfe, ob die beiden Vektoren orthogonal sind.

$\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\-5\\1\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\1\\-7\end{pmatrix}$

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind orthogonal.

$\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -4\\2\\3\end{pmatrix}$

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind nicht orthogonal.

$\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -3\\6\\0\end{pmatrix}$

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind orthogonal.

Orthonalen Vektor finden

Bestimmen Sie einen Vektor, der zu $\vec{v}$ orthogonal ist.

$\vec{v} = \begin{pmatrix}-5\\3\\3\end{pmatrix}$

Es gibt viele Lösungen z.B. $\vec{w} = \begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix}$

$\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\9\end{pmatrix}$

Es gibt viele Lösungen z.B. $\vec{w} = \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}$

Pythagoras von Samos Statue

Monument of Pythagoras in Pythagorio, Samos. Copyright Ch. Eckert 2003. Published under terms and conditions of the FDL.

Zu Ehren des griechischen Mathematikers Pythagoras steht auf der Hafenmodel der nach ihm benanntnen Stadt Pythagorio auf Samos ein Denkmal. Pythoagras ist bekannt für den Satz des Pythagoras der in rechtwinklingen Dreiecken gilt.

Das aus Stein gefertigte Dreieck hat bezüglich eines Koordinatensystems die Eckpunkte $A(2|2|1), B(2|-1|9)$ und $C(2|-1|1)$

Überprüfe rechnerisch, ob es sich bei der Statue um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Erstelle eine Skizze.

Stelle die beiden Katheten als Vektoren dar und berechne das Skalarprodukt.

Natürlich ist das Dreieck rechtwinkling.