Powered by Hyperbook
Mathematik
Powered by Hyperbook

Aufgabensammlung

Aufgabe 1

f(x) = -2x -7, (-4 <= x <= 0) ShowLabel(f, false) h(x) = -7, (0 <= x <= 2) ShowLabel(h, false) p(x) = 1x - 4, (2 <= x <= 4) ShowLabel(p, false) a = Integral(f, -4, -3.5) ShowLabel(a, false) b = Integral(f, -3.5, 0) ShowLabel(b, false) c = Integral(h, 0, 2) ShowLabel(c, false) d = Integral(p, 2, 4) ShowLabel(d, false)

A = 0.25 + 12.25 + 14 + 2 = 28.5

Aufgabe 2

f(x) = -0.5x -7, (-4 <= x <= 0) ShowLabel(f, false) h(x) = -7, (0 <= x <= 2) ShowLabel(h, false) a = Integral(f, -4, 0) ShowLabel(a, false) c = Integral(h, 0, 2) ShowLabel(c, false)

A = 24 + 14 = 38

Bestimme das unbestimme Integral (die Menge aller Stammfunktionen) der folgenden Funktionen und gib zwei konrete Stammfunktionen an.

Aufgabe 1

f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 f(x) = 3x^2 - 2x + 1
F ( x ) = ∫ 3 x 2 − 2 x + 1   d x F ( x ) = x 3 − x 2 + x + C \begin{align*} F(x) &= \int 3x^2 - 2x + 1 \, dx \\ F(x) &= x^3 - x^2 + x + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

F 1 ( x ) = x 3 − x 2 + x + 1 F 2 ( x ) = x 3 − x 2 + x + 2 \begin{align*} F_1(x) &= x^3 - x^2 + x + 1 \\ F_2(x) &= x^3 - x^2 + x + 2 \end{align*}

Aufgabe 2

f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 1 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1
F ( x ) = ∫ 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 1   d x F ( x ) = 1 2 x 4 − x 3 + 2 x 2 − x + C \begin{align*} F(x) &= \int 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \, dx \\ F(x) &= \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

F 1 ( x ) = 1 2 x 4 − x 3 + 2 x 2 − x + 1 F 2 ( x ) = 1 2 x 4 − x 3 + 2 x 2 − x − 20 \begin{align*} F_1(x) &= \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1 \\ F_2(x) &= \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - x - 20 \end{align*}

Aufgabe 3

f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1
F ( x ) = ∫ 4 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1   d x F ( x ) = x 4 − 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − x + C \begin{align*} F(x) &= \int 4x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \, dx \\ F(x) &= x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

F 1 ( x ) = x 4 − 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − x + 1 F 2 ( x ) = x 4 − 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − x + π \begin{align*} F_1(x) &= x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + 1 \\ F_2(x) &= x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + \pi \end{align*}

Aufgabe 4

f ( x ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) f(x) = (x - 1)(x + 1)

Hier nutzen wir zuerst die dritte binomische Formel.

F ( x ) = ∫ ( x − 1 ) ( x + 1 )   d x F ( x ) = ∫ ( x 2 − 1 )   d x F ( x ) = 1 3 x 3 − x + C \begin{align*} F(x) &= \int (x - 1)(x + 1) \, dx \\ F(x) &= \int (x^2 - 1) \, dx \\ F(x) &= \frac{1}{3}x^3 - x + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

F 1 ( x ) = 1 3 x 3 − x + 1 F 2 ( x ) = 1 3 x 3 − x \begin{align*} F_1(x) &= \frac{1}{3}x^3 - x + 1 \\ F_2(x) &= \frac{1}{3}x^3 - x \end{align*}

Aufgabe 5

h ( t ) = ( t 2 − 20 ) ⋅ t h(t) = (t^2 - 20) \cdot t

Hier multiplizieren wir zuerst die Klammern aus.

H ( t ) = ∫ ( t 2 − 20 ) ⋅ t   d t H ( t ) = ∫ ( t 3 − 20 t )   d t H ( t ) = 1 4 t 4 − 10 t 2 + C \begin{align*} H(t) &= \int (t^2 - 20) \cdot t \, dt \\ H(t) &= \int (t^3 - 20t) \, dt \\ H(t) &= \frac{1}{4}t^4 - 10t^2 + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

H 1 ( t ) = 1 4 t 4 − 10 t 2 + 1 H 2 ( t ) = 1 4 t 4 − 10 t 2 + 2 \begin{align*} H_1(t) &= \frac{1}{4}t^4 - 10t^2 + 1 \\ H_2(t) &= \frac{1}{4}t^4 - 10t^2 + 2 \end{align*}

Aufgabe 6

j ( k ) = 20 ∗ ( 20 − k 3 ) ∗ k 2 j(k) = 20 * (20 - k^3) * k^2

Hier multiplizieren wir zuerst die Klammern aus.

J ( k ) = ∫ 20 ⋅ ( 20 − k 3 ) ⋅ k 2   d k J ( k ) = ∫ 20 k 2 ⋅ ( 20 − k 3 )   d k J ( k ) = ∫ 400 k 2 − 20 k 5   d k J ( k ) = 400 3 k 3 − 4 k 6 + C \begin{align*} J(k) &= \int 20 \cdot (20 - k^3) \cdot k^2 \, dk \\ J(k) &= \int 20k^2 \cdot (20 - k^3) \, dk \\ J(k) &= \int 400k^2 - 20k^5 \, dk \\ J(k) &= \frac{400}{3}k^3 - 4k^6 + C \end{align*}

Zwei konkrete Stammfunktionen:

J 1 ( k ) = 400 3 k 3 − 4 k 6 + 1 J 2 ( k ) = 400 3 k 3 − 4 k 6 + 1 2 \begin{align*} J_1(k) &= \frac{400}{3}k^3 - 4k^6 + 1 \\ J_2(k) &= \frac{400}{3}k^3 - 4k^6 + \frac{1}{2} \end{align*}

Aufgabe 1

Berechne das bestimmte Integral der Funktion f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 im Intervall [ − 1 , 2 ] [-1, 2] .

d = ∫ − 1 2 3 x 2 − 2 x + 1   d x d = [ x 3 − x 2 + x ] − 1 2 d = 9 \begin{align*} d &= \int_{-1}^{2} 3x^2 - 2x + 1 \, dx \\ d &= \left[ x^3 - x^2 + x \right]_{-1}^{2} \\ d &= 9 \end{align*}

Aufgabe 2

Berechne das bestimmte Integral der Funktion f ( x ) = 1 2 ( x 2 − 3 x + 4 ) ⋅ x f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 4) \cdot x im Intervall [ 0 , 3 ] [0, 3] .

d = ∫ 0 3 1 2 ( x 2 − 3 x + 4 ) ⋅ x   d x d = ∫ 0 3 1 2 x 3 − 3 2 x 2 + 2 x   d x d = [ 1 8 x 4 − 1 2 x 3 + x 2 ] 0 3 d ≈ 5 , 63 \begin{align*} d &= \int_{0}^{3} \frac{1}{2}(x^2 - 3x + 4) \cdot x \, dx \\ d &= \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \, dx \\ d &= \left[ \frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + x^2 \right]_{0}^{3} \\ d &\approx 5,63 \end{align*}

Aufgabe 1

In einem Gastank befinden sich zu Beginn des Tages 1000 Liter Wasserstoff. Durch eine Leitung wird Gas entnommen und hinzugefügt. Die Verbrauchsgeschwindigkeit in Liter pro Stunde lässt sich im Laufe des Tages mit der Funktion

f ( t ) = 0 , 02 ( t 2 − t + 12 ) ⋅ t 2 f(t) = 0,02(t^2 - t + 12) \cdot t^2

modellieren. Dabei ist t t die Zeit in Stunden.

a) Bestimme die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) , die den Bestand an Wasserstoff im Tank zu einem beliebigen Zeitpunkt t t in Litern angibt.

Die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) ergibt sich durch Integration der Funktion f ( t ) f(t) :

B ( t ) = ∫ f ( t )   d t B ( t ) = ∫ 0 , 02 ( t 2 − t + 12 ) ⋅ t 2   d t B ( t ) = ∫ 0 , 02 t 4 − t 3 + 12 t 2   d t B ( t ) = 0 , 02 ⋅ 1 5 t 5 − 1 4 t 4 + 4 t 3 + C \begin{align*} B(t) &= \int f(t) \, dt \\ B(t) &= \int 0,02(t^2 - t + 12) \cdot t^2 \, dt \\ B(t) &= \int 0,02t^4 - t^3 + 12t^2 \, dt \\ B(t) &= 0,02 \cdot \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{4}t^4 + 4t^3 + C \end{align*}

Da zu Beginn des Tages 1000 Liter Wasserstoff im Tank waren, gilt:

B ( 0 ) = 1000 0 , 02 ⋅ 1 5 ⋅ 0 5 − 1 4 ⋅ 0 4 + 4 ⋅ 0 3 + C = 1000 C = 1000 \begin{align*} B(0) &= 1000 \\ 0,02 \cdot \frac{1}{5} \cdot 0^5 - \frac{1}{4} \cdot 0^4 + 4 \cdot 0^3 + C &= 1000 \\ C &= 1000 \end{align*}

Die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) lautet also:

B ( t ) = 0 , 02 ⋅ 1 5 t 5 − 1 4 t 4 + 4 t 3 + 1000 B(t) = 0,02 \cdot \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{4}t^4 + 4t^3 + 1000

b) Bestimme wie viel Wasserstoff nach 10 Stunden im Tank ist.

B ( 10 ) = 0 , 02 ⋅ 1 5 ⋅ 1 0 5 − 1 4 ⋅ 1 0 4 + 4 ⋅ 1 0 3 + 1000 B ( 10 ) = 2900 \begin{align*} B(10) &= 0,02 \cdot \frac{1}{5} \cdot 10^5 - \frac{1}{4} \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 1000 \\ B(10) &= 2900 \end{align*}

Nach 10 Stunden sind also 2900 Liter Wasserstoff im Tank.

c) Zeige rechnerisch, dass am Ende des Tages, nach 24 Stunden, der Tank nicht leer ist.

B ( 24 ) = 0 , 02 ⋅ 1 5 ⋅ 2 4 5 − 1 4 ⋅ 2 4 4 + 4 ⋅ 2 4 3 + 1000 B ( 24 ) = 5202 , 5 \begin{align*} B(24) &= 0,02 \cdot \frac{1}{5} \cdot 24^5 - \frac{1}{4} \cdot 24^4 + 4 \cdot 24^3 + 1000 \\ B(24) &= 5202,5 \end{align*}

Am Ende des Tages, nach 24 Stunden, sind also 5202,5 Liter Wasserstoff im Tank.

d) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Tank in den ersten 24 Stunden am meisten Wasserstoff enthält.

Die Ableitung der Bestandsfunktion B ( t ) B(t) gibt die Veränderung des Bestands an Wasserstoff im Tank an. Der Zeitpunkt, an dem der Tank am meisten Wasserstoff enthält, ist der Zeitpunkt, an dem die Ableitung B ′ ( t ) B'(t) den Wert 0 annimmt.

B ′ ( t ) = f ( t ) B ′ ( t ) = 0 , 02 t 4 − t 3 + 12 t 2 \begin{align*} B'(t) &= f(t) \\ B'(t) &= 0,02t^4 - t^3 + 12t^2 \end{align*} 0 = 0 , 02 t 4 − t 3 + 12 t 2 0 = 0 , 02 t 2 ⋅ ( t 2 − 50 t + 600 ) \begin{align*} 0 &= 0,02t^4 - t^3 + 12t^2 \\ 0 &= 0,02t^2 \cdot (t^2 - 50t + 600) \end{align*}

Die Nullstellen der quadratischen Funktion t 2 − 50 t + 600 t^2 - 50t + 600 sind t 1 = 20 t_1 = 20 und t 2 = 30 t_2 = 30 . Da nur t 1 t_1 im Intervall [ 0 , 24 ] [0, 24] liegt, brachten wir nur diese Extremstelle weiter.

Zusätzlich müssen wir noch die Randpunkte des Intervalls [ 0 , 24 ] [0, 24] betrachten:

B ( 0 ) = 1000 B ( 20 ) = 5800 B ( 24 ) = 5202 , 5 \begin{align*} B(0) &= 1000 \\ B(20) &= 5800 \\ B(24) &= 5202,5 \end{align*}

Der Tank enthält also nach 20 Stunden am meisten Wasserstoff.

Aufgabe 2

Der Wasserstand eines Stausees verändert sich im Laufe eines Tages. Die Veränderung des Wasserstands in Metern pro Stunde lässt sich mit der Funktion

f ( t ) = 1 10000 ( 5 t 2 − 120 t + 480 ) ⋅ t f(t) = \frac{1}{10000}(5t^2 - 120t + 480) \cdot t

modellieren. Dabei ist t ∈ [ 0 ; 24 ] t \in [0;24] die Zeit in Stunden. Zu Beginn des Tages betrug der Wasserstand im Stausee 10 Meter.

a) Bestimme die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) , die den Wasserstand im Stausee zu einem beliebigen Zeitpunkt t t in Metern angibt.

Die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) ergibt sich durch Integration der Funktion f ( t ) f(t) :

B ( t ) = ∫ f ( t )   d t B ( t ) = ∫ 1 10000 ( 5 t 2 − 120 t + 480 ) ⋅ t   d t B ( t ) = 1 10000 ∫ 5 t 3 − 120 t 2 + 480 t   d t B ( t ) = 1 10000 ( 5 4 t 4 − 120 ⋅ 1 3 t 3 + 480 ⋅ 1 2 t 2 ) + C \begin{align*} B(t) &= \int f(t) \, dt \\ B(t) &= \int \frac{1}{10000}(5t^2 - 120t + 480) \cdot t \, dt \\ B(t) &= \frac{1}{10000} \int 5t^3 - 120t^2 + 480t \, dt \\ B(t) &= \frac{1}{10000} (\frac{5}{4}t^4 - 120 \cdot \frac{1}{3}t^3 + 480 \cdot \frac{1}{2}t^2) + C \end{align*}

Da zu Beginn des Tages der Wasserstand im Stausee 10 Meter betrug, gilt:

B ( 0 ) = 10 1 10000 ( 5 4 ⋅ 0 4 − 120 ⋅ 1 3 ⋅ 0 3 + 480 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 ) + C = 10 C = 10 \begin{align*} B(0) &= 10 \\ \frac{1}{10000} (\frac{5}{4} \cdot 0^4 - 120 \cdot \frac{1}{3} \cdot 0^3 + 480 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0^2) + C &= 10 \\ C &= 10 \end{align*}

Die Bestandsfunktion B ( t ) B(t) lautet also:

B ( t ) = 1 10000 ( 5 4 t 4 − 120 ⋅ 1 3 t 3 + 480 ⋅ 1 2 t 2 ) + 10 B(t) = \frac{1}{10000} (\frac{5}{4}t^4 - 120 \cdot \frac{1}{3}t^3 + 480 \cdot \frac{1}{2}t^2) + 10

b) Bestimme wie hoch der Wasserstand nach 10 Stunden ist.

B ( 10 ) = 1 10000 ( 5 4 ⋅ 1 0 4 − 120 ⋅ 1 3 ⋅ 1 0 3 + 480 ⋅ 1 2 ⋅ 1 0 2 ) + 10 B ( 10 ) = 9 , 65 \begin{align*} B(10) &= \frac{1}{10000} (\frac{5}{4} \cdot 10^4 - 120 \cdot \frac{1}{3} \cdot 10^3 + 480 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10^2) + 10 \\ B(10) &= 9,65 \end{align*}

Nach 10 Stunden beträgt der Wasserstand im Stausee also 50 Meter.

c) Zeige rechnerisch, dass der Wasserstand zu Beginn des Tages und am Ende des Tages gleich ist.

B ( 0 ) = 1 10000 ( 5 4 ⋅ 0 4 − 120 ⋅ 1 3 ⋅ 0 3 + 480 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 ) + 10 B ( 0 ) = 10 \begin{align*} B(0) &= \frac{1}{10000} (\frac{5}{4} \cdot 0^4 - 120 \cdot \frac{1}{3} \cdot 0^3 + 480 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0^2) + 10 \\ B(0) &= 10 \end{align*} B ( 24 ) = 1 10000 ( 5 4 ⋅ 2 4 4 − 120 ⋅ 1 3 ⋅ 2 4 3 + 480 ⋅ 1 2 ⋅ 2 4 2 ) + 10 B ( 24 ) = 10 \begin{align*} B(24) &= \frac{1}{10000} (\frac{5}{4} \cdot 24^4 - 120 \cdot \frac{1}{3} \cdot 24^3 + 480 \cdot \frac{1}{2} \cdot 24^2) + 10 \\ B(24) &= 10 \end{align*}

Der Wasserstand zu Beginn des Tages und am Ende des Tages ist also gleich.

Aufgabe 1

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 3 f(x) = 2x^2 - 4x + 3 und der x-Achse im Intervall [ − 1 ; 4 ] [-1; 4] eingeschlossen wird.

  1. Nullstellen berechnen:
f ( x ) = 0 2 x 2 − 4 x + 3 = 0 x 2 − 2 x + 3 2 = 0 x 1 , 2 = 1 ± 1 − 3 2 x 1 , 2 = 1 ± − 1 2 \begin{align*} f(x) &= 0 \\ 2x^2 - 4x + 3 &= 0 \\ x^2 - 2x + \frac{3}{2} &= 0 \\ x_{1,2} &= 1 \pm \sqrt{1 - \frac{3}{2}} \\ x_{1,2} &= 1 \pm \sqrt{-\frac{1}{2}} \\ \end{align*}

Da die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist, hat die Funktion keine Nullstellen.

  1. Flächen berechnen:
A = ∫ − 1 4 2 x 2 − 4 x + 3   d x A = [ 2 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x ] − 1 4 A ≈ 28 , 33 \begin{align*} A &= \int_{-1}^{4} 2x^2 - 4x + 3 \, dx \\ A &= \left[ \frac{2}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{-1}^{4} \\ A &\approx 28,33 \end{align*}

Aufgabe 2

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion f ( x ) = ( x + 2 ) 2 − 20 f(x) = (x + 2)^2 - 20 und der x-Achse im Intervall [ 0 ; 3 ] [0; 3] eingeschlossen wird.

  1. Nullstellen berechnen:
f ( x ) = 0 ( x + 2 ) 2 − 20 = 0 x 2 + 4 x + 4 − 20 = 0 x 2 + 4 x − 16 = 0 x 1 ≈ − 6 , 47 x 2 ≈ 2 , 47 \begin{align*} f(x) &= 0 \\ (x + 2)^2 - 20 &= 0 \\ x^2 + 4x + 4 - 20 &= 0 \\ x^2 + 4x - 16 &= 0 \\ x_1 &\approx -6,47 \\ x_2 &\approx 2,47 \end{align*}
  1. Flächen berechnen:
A 1 = ∫ 0 2 , 47 ( x + 2 ) 2 − 20   d x A 2 = ∫ 2 , 47 3 ( x + 2 ) 2 − 20   d x A 1 ≈ 22 , 3 A 2 ≈ 1 , 3 A = A 1 + A 2 = 23 , 6 \begin{align*} A_1 &= \int_{0}^{2,47} (x + 2)^2 - 20 \, dx \\ A_2 &= \int_{2,47}^{3} (x + 2)^2 - 20 \, dx \\ A_1 &\approx 22,3 \\ A_2 &\approx 1,3 A = A_1 + A_2 = 23,6 \end{align*}
Aufgabensammlung
✎ GitHubCC BY-SA by OpenPatch