Aufgaben

Ebene aus drei Punkten aufstellen

Gegeben sind drei Punkte. Gib die Parameterform der Ebene E an, die durch die Punkte A, B und C festgelegt ist.

a. $A(1|0|3)$ , $B(0|2|1)$ und $C(2|2|4)$

$E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}$

b. $A(0|1|2)$ , $B(3|3|3)$ und $C(-1|1|4)$

$E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}$

Ebene aus einer Geraden und einem Punkt aufstellen

Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade. Gib die Parameterform der Ebene E an, die durch den Punkt A und der Geraden g festgelegt ist.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} \ r \in \mathbb{R}

P(1|-3|-3)

Wähle den Richtungsvektor der Geraden als ein Spannvektor.

Wähle den Vektor zwischen dem Punkt P und dem Aufpunkt der Geraden als zweiten Richtungsvektor.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Ebene aus zwei Geraden sich schneidenden aufstellen

Gegeben sind die Geraden g und f. Zeige, dass die Geraden sich schneiden. Gib die Parameterform der Ebene an, die durch die Geraden festgelegt ist.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\-3\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}6\\1\\-2\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

f: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\13\\3\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

Nimm die Richtungsvektoren der Geraden als Spannvektoren der Ebene.

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-4\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\13\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}6\\1\\-2\end{pmatrix}, \ s,t \in \mathbb{R}

Ebene aus zwei parallelen Geraden aufstellen

Gegeben sind die Geraden g und f. Zeige, dass die Geraden parallel sind. Gib die Parameterform der Ebene an, die durch die Geraden festgelegt ist.

g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}, \ s \in \mathbb{R}

f: \vec{x} = \begin{pmatrix}5\\-2\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-1\\-3\end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}

Bestimme drei Punkte aus den Geraden, um die Ebene aufzustellen.

Wähle die Aufpunkte der Geraden und einen weiteren zum Beispiel für $s = 1$ .

E: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}7\\-6\\-2\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}