✏️ Bestandsfunktionen nutzen im Sachkontext

Bei diesen Aufgaben wird die Bestandsfunktion genutzt, um verschiedene Sachverhalte zu berechnen.

Aufgabe: 🏊 Sprung vom 10-Meter-Turm

Bei einem Sprung vom 10-Meter-Turm eines Freibads kann man den Luftwiderstand vernachlässigen, also von einem freien Fall ausgehen. Dabei nimmt die Geschwindigkeit pro Sekunde um etwa 9,81 m/s zu. Diese sogenannte Erdbeschleunigung ist nach unten gerichtet, daher kann die Geschwindigkeit $v(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ durch

v(t) = -9,81t

beschrieben werden. Dabei wird $t$ in Sekunden und $v(t)$ in Meter pro Sekunde angegeben.

a) Bestimme die Funktion $h(t)$ , die die Höhe des Springers nach $t$ Sekunden angibt.

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $v(t) = -9,81t$ beschreibt die Geschwindigkeit des Springers in Abhängigkeit von der Zeit.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $v(t)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde. Die Höhe $h(t)$ kann durch die Integration der Geschwindigkeit bestimmt werden.

Bestandsfunktion finden: Um die Höhe $h(t)$ zu bestimmen, muss die Funktion $v(t)$ integriert werden. Also die Stammfunktion gefunden werden.

\begin{align*} h(t) &= \int v(t) \, dt \\ &= \int (-9,81t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $-9,81t$ ergibt $-\frac{9,81}{2}t^2 = -4,905t^2$ .

Somit ergibt sich die Funktion $h(t)$ :

h(t) = -4,905t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist, die die Anfangshöhe beschreibt.

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangshöhe des Springers (10 Meter) eingesetzt wird. Zu Beginn des Sprungs (bei $t = 0$ ) gilt $h(0) = 10$ .

\begin{align*} h(0) = -4,905 \cdot 0^2 + c &= 10\\ c &= 10 \end{align*}

Höhe-Funktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist 10. Die Höhe des Springers nach $t$ Sekunden lautet also:

h(t) = -4,905t^2 + 10

b) Wie lange dauert es, bis der Springer die Wasseroberfläche erreicht? Mit welcher Geschwindigkeit taucht er ein?

Eintauchen in die Wasseroberfläche: Der Springer erreicht die Wasseroberfläche, wenn $h(t) = 0$ . Setze die Höhe-Funktion gleich null und löse nach $t$ auf:

0 = -4,905t^2 + 10

Umstellen der Gleichung:

4,905t^2 = 10 \\ t^2 = \frac{10}{4,905} \\ t = \sqrt{\frac{10}{4,905}} \\ t \approx 1,43 \, \text{s}

Berechne den Wert von $t$ .

Eintauchgeschwindigkeit bestimmen: Setze den Wert von $t$ in die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ ein, um die Geschwindigkeit beim Eintauchen zu berechnen:

\begin{align*} v(t) &= -9,81t \\ v(1,43) &= -9,81 \cdot 1,43 \\ &\approx -14,04 \, \text{m/s} \end{align*}

Die Negative Geschwindigkeit zeigt an, dass der Springer nach unten fällt.

c) Berechne $\int_0^1 v(t) \, dt$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

Integral berechnen: Das Integral $\int_0^1 v(t) \, dt$ gibt die Höhe nach einer Sekunde an.

Aufgabe: 🚴 Fahrradfahrt den Hügel hinunter

Bei einer Fahrradfahrt den Hügel hinunter kann man die Beschleunigung des Fahrrads als konstant annehmen. Die Funktion

a(t) = 2t

beschreibt die Beschleunigung des Fahrrads in Metern pro Sekunde zum Quadrat in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Sekunden. Der Fahrradfahrer startet mit einer Geschwindigkeit von 0 m/s.

a) Bestimme die Funktion $v(t)$ , die die Geschwindigkeit des Fahrrads nach $t$ Sekunden angibt.

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $a(t) = 2t$ beschreibt die Beschleunigung des Fahrrads in Abhängigkeit von der Zeit.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $a(t)$ die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Die Geschwindigkeit $v(t)$ kann durch die Integration der Beschleunigung bestimmt werden.

Bestandsfunktion finden: Um die Geschwindigkeit $v(t)$ zu bestimmen, muss die Funktion $a(t)$ integriert werden. Also die Stammfunktion gefunden werden.

\begin{align*} v(t) &= \int a(t) \, dt \\ &= \int (2t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $2t$ ergibt $t^2$ .

Somit ergibt sich die Funktion $v(t)$ :

v(t) = t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist, die die Anfangsgeschwindigkeit beschreibt.

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsgeschwindigkeit des Fahrrads (0 m/s, beim Start) eingesetzt wird. Zu Beginn der Fahrt (bei $t = 0$ ) gilt $v(0) = 0$ .

\begin{align*} v(0) = 0^2 + c &= 0\\ c &= 0 \end{align*}

Geschwindigkeitsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist 0. Die Geschwindigkeit des Fahrrads nach $t$ Sekunden lautet also:

v(t) = t^2

b) Wie lange dauert es, bis das Fahrrad eine Geschwindigkeit von 10 m/s erreicht?

Geschwindigkeit bestimmen: Setze die Geschwindigkeit gleich 10 m/s und löse nach $t$ auf:

10 = t^2

Umstellen der Gleichung:

t = \sqrt{10} \approx 3,16 \, \text{s}

Berechne den Wert von $t$ .

c) Berechne $\int_0^3 v(t) \, dt$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

Integral berechnen: Das Integral $\int_0^3 v(t) \, dt$ gibt die zurückgelegte Strecke des Fahrrads in den ersten 3 Sekunden an.

\begin{align*} \int_0^3 v(t) \, dt &= \int_0^3 t^2 \, dt \\ &= \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 \\ &= \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \\ &= \frac{27}{3} = 9 \, \text{m} \end{align*}

Der Wert von 9 m bedeutet, dass das Fahrrad in den ersten 3 Sekunden eine Strecke von 9 Metern zurückgelegt hat.

Aufgabe: 🏀 Ball rollen lassen

Ein Ball rollt auf einer schiefen Ebene hinunter. Die Beschleunigung des Balls kann als zeitabhängig betrachtet werden und ist durch die Funktion

a(t) = 3t

gegeben. Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $a(t)$ die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Der Ball startet aus der Ruhe (Geschwindigkeit = 0 m/s).

a) Bestimme die Funktion $v(t)$ , die die Geschwindigkeit des Balls nach $t$ Sekunden angibt.

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $a(t) = 3t$ beschreibt die Beschleunigung des Balls in Abhängigkeit von der Zeit.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $a(t)$ die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Die Geschwindigkeit $v(t)$ kann durch die Integration der Beschleunigung bestimmt werden.

Bestandsfunktion finden: Um die Geschwindigkeit $v(t)$ zu bestimmen, muss die Funktion $a(t)$ integriert werden.

\begin{align*} v(t) &= \int a(t) \, dt \\ &= \int (3t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $3t$ ergibt $\frac{3}{2} t^2$ .

Somit ergibt sich die Funktion $v(t)$ :

v(t) = \frac{3}{2} t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist, die die Anfangsgeschwindigkeit beschreibt.

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsgeschwindigkeit des Balls (0 m/s, beim Start) eingesetzt wird. Zu Beginn der Bewegung (bei $t = 0$ ) gilt $v(0) = 0$ .

\begin{align*} v(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^2 + c &= 0\\ c &= 0 \end{align*}

Geschwindigkeitsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist 0. Die Geschwindigkeit des Balls nach $t$ Sekunden lautet also:

v(t) = \frac{3}{2} t^2

b) Wie lange dauert es, bis der Ball eine Geschwindigkeit von 12 m/s erreicht?

Geschwindigkeit bestimmen: Setze die Geschwindigkeit gleich 12 m/s und löse nach $t$ auf:

12 = \frac{3}{2} t^2

Umstellen der Gleichung:

t^2 = \frac{12 \times 2}{3} = 8

t = \sqrt{8} \approx 2,83 \, \text{s}

c) Berechne $\int_0^3 v(t) \, dt$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

Integral berechnen: Das Integral $\int_0^3 v(t) \, dt$ gibt die zurückgelegte Strecke des Balls in den ersten 3 Sekunden an.

\begin{align*} \int_0^3 v(t) \, dt &= \int_0^3 \frac{3}{2} t^2 \, dt \\ &= \frac{3}{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 \\ &= \frac{3}{2} \times \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \\ &= \frac{3}{2} \times \frac{27}{3} \\ &= \frac{3}{2} \times 9 \\ &= 13,5 \, \text{m} \end{align*}

Der Wert von 13,5 m bedeutet, dass der Ball in den ersten 3 Sekunden eine Strecke von 13,5 Metern zurückgelegt hat.

Aufgabe: 🚀 Rakete starten lassen

Eine Rakete startet vertikal und ihre Beschleunigung kann als zeitabhängig betrachtet werden und ist durch die Funktion

a(t) = 4t

gegeben. Dabei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $a(t)$ die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Die Rakete startet aus der Ruhe (Geschwindigkeit = 0 m/s).

a) Bestimme die Funktion $v(t)$ , die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angibt.

Funktion analysieren: Die gegebene Funktion $a(t) = 4t$ beschreibt die Beschleunigung der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit.
Bedeutung der Variablen: Hierbei ist $t$ die Zeit in Sekunden und $a(t)$ die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat. Die Geschwindigkeit $v(t)$ kann durch die Integration der Beschleunigung bestimmt werden.

Bestandsfunktion finden: Um die Geschwindigkeit $v(t)$ zu bestimmen, muss die Funktion $a(t)$ integriert werden.

\begin{align*} v(t) &= \int a(t) \, dt \\ &= \int (4t) \, dt \end{align*}

Integration durchführen:
- Die Integration von $4t$ ergibt $2t^2$ .

Somit ergibt sich die Funktion $v(t)$ :

v(t) = 2t^2 + c

Wobei $c$ die Integrationskonstante ist, die die Anfangsgeschwindigkeit beschreibt.

Anfangsbedingung einsetzen: Die Integrationskonstante $c$ kann bestimmt werden, indem die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete (0 m/s, beim Start) eingesetzt wird. Zu Beginn der Bewegung (bei $t = 0$ ) gilt $v(0) = 0$ .

\begin{align*} v(0) = 2 \cdot 0^2 + c &= 0\\ c &= 0 \end{align*}

Geschwindigkeitsfunktion aufstellen: Die Integrationskonstante $c$ ist 0. Die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden lautet also:

v(t) = 2t^2

b) Wie lange dauert es, bis die Rakete eine Geschwindigkeit von 16 m/s erreicht?

Geschwindigkeit bestimmen: Setze die Geschwindigkeit gleich 16 m/s und löse nach $t$ auf:

16 = 2t^2

Umstellen der Gleichung:

t^2 = \frac{16}{2} = 8

t = \sqrt{8} \approx 2,83 \, \text{s}

c) Berechne $\int_0^3 v(t) \, dt$ und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.

Integral berechnen: Das Integral $\int_0^3 v(t) \, dt$ gibt die zurückgelegte Strecke der Rakete in den ersten 3 Sekunden an.

\begin{align*} \int_0^3 v(t) \, dt &= \int_0^3 2t^2 \, dt \\ &= 2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 \\ &= 2 \times \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \\ &= 2 \times \frac{27}{3} \\ &= 2 \times 9 \\ &= 18 \, \text{m} \end{align*}

Der Wert von 18 m bedeutet, dass die Rakete in den ersten 3 Sekunden eine Strecke von 18 Metern zurückgelegt hat.

🔴 Aufgabe: 🏗️ Brückenkonstruktion – Belastung eines Trägers

Ein Ingenieur untersucht die Belastung eines Brückenträgers mit einer festen Länge von 6 Metern unter einer gleichmäßig verteilten Last. Die Biegelinie des Trägers (die Durchbiegung in Abhängigkeit von der Position $x$ ) wird vereinfacht durch die zweite Ableitung der Durchbiegungsfunktion $y(x)$ beschrieben:

y''(x) = -4x

wobei $x$ die Position entlang des Trägers in Metern angibt und $y''(x)$ die Krümmung des Trägers in Metern pro Meter zum Quadrat beschreibt. Die Brücke ist an beiden Enden (bei $x = 0$ und $x = 6$ ) fest eingespannt, sodass die Durchbiegung an den Enden Null ist.

a) Bestimme die Funktion $y(x)$ , die die Durchbiegung des Trägers beschreibt.

Die Funktion $y''(x) = -4x$ beschreibt die Krümmung des Trägers.
Um die Durchbiegung $y(x)$ zu erhalten, müssen wir zweimal integrieren.

Die erste Integration liefert die Steigung $y'(x)$ :

\begin{align*} y'(x) &= \int y''(x) \, dx \\ &= \int (-4x) \, dx \\ &= -2x^2 + C_1 \end{align*}

Die zweite Integration liefert die Durchbiegung $y(x)$ :

\begin{align*} y(x) &= \int y'(x) \, dx \\ &= \int (-2x^2 + C_1) \, dx \\ &= -\frac{2}{3} x^3 + C_1 x + C_2 \end{align*}

b) Bestimme die Konstanten $C_1$ und $C_2$ , wenn die Brücke an beiden Enden fest eingespannt ist ( $y(0) = 0$ und $y(6) = 0$ ).

Die Randbedingungen bedeuten, dass die Durchbiegung an den Enden $x = 0$ und $x = 6$ gleich null sein muss:

y(0) = -\frac{2}{3} (0)^3 + C_1 (0) + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0

y(6) = -\frac{2}{3} \cdot 6^3 + C_1 \cdot 6 + 0 = 0

Einsetzen von $x = 6$ :

- \frac{2}{3} \cdot 216 + 6C_1 = 0

-144 + 6C_1 = 0

C_1 = 24

Damit lautet die Durchbiegungsfunktion:

y(x) = -\frac{2}{3} x^3 + 24x

c) Bestimme die maximale Durchbiegung der Brücke.

Die maximale Durchbiegung tritt dort auf, wo die Steigung $y'(x)$ null ist:

y'(x) = -2x^2 + 24 = 0

Umstellen:

2x^2 = 24

x^2 = 12

x = \sqrt{12} \approx 3.46

Setze $x = 3.46$ in $y(x)$ ein:

y(3.46) = -\frac{2}{3} (3.46)^3 + 24 \cdot 3.46

\approx -\frac{2}{3} (41.46) + 83.04

\approx -27.64 + 83.04

\approx 55.4

Die maximale Durchbiegung beträgt also 55.4 mm (0.0554 m).