Parameterform von Ebenen

Von der Gerade zur Ebene

Du kennst bereits die Parameterform einer Geraden. Nun erweitern wir dieses Konzept auf Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Unterschied: Gerade vs. Ebene

Gerade: $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ (1 Parameter, 1 Richtung)

Ebene: $E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ (2 Parameter, 2 Richtungen)

Forschungsauftrag

Die dargestellte Ebene kann durch drei Punkte A, B und C definiert werden.

Notiere dir welche Bestandteile in der Visualisierung zu erkennen sind.

Verändere die Parameter r und s. Beschreibe was passiert. Lasse dir auch die Spur anzeigen.

Bestandteile der Visualisierung:

Punkt A (Stützpunkt)
Vektoren u und v (Spannvektoren)
Parameter r und s
Punkt P in der Ebene

Bei Parameteränderung:

Veränderung von r: Der Vektor u wird gestreckt/gestaucht
Veränderung von s: Der Vektor v wird gestreckt/gestaucht
Dadurch verschiebt sich der Punkt P in der Ebene

Was passiert, wenn beide Parameter gleichzeitig verändert werden?

Der Punkt P kann jeden beliebigen Punkt der Ebene erreichen. Die Kombination beider Parameter ermöglicht es, alle Punkte der Ebene zu beschreiben.

Definition einer Ebene

Eine Ebene wird durch die Parameterform beschrieben:

$E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$

wobei:

$\vec{a}$ der Stützvektor ist (ein bekannter Punkt auf der Ebene)
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ die Spannvektoren sind (nicht parallel!)
$r, s \in \mathbb{R}$ die Parameter sind

Warum zwei Parameter?

Eine Ebene ist zweidimensional, deshalb benötigen wir zwei Parameter:

Ein Parameter würde nur eine Gerade beschreiben
Zwei Parameter spannen eine Fläche (Ebene) auf
Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein!

Ebene durch drei Punkte

Eine Ebene durch die Punkte $A$ , $B$ und $C$ hat die Parameterform:

$E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$

Bedingung: Die Punkte A, B und C dürfen nicht auf einer Geraden liegen (nicht kollinear).

Beispiel

Gegeben: $A(1|2|0)$ , $B(3|1|2)$ , $C(0|4|1)$

Stützvektor: $\vec{a} = \vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

Spannvektoren:

$\vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
$\vec{v} = \vec{AC} = \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Ebenengleichung: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$

Prüfung auf Parallelität der Spannvektoren

Wichtig: Die Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ dürfen nicht parallel sein!

Prüfung: $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ für ein $k \neq 0$ ?

Falls ja → Die "Ebene" ist nur eine Gerade!

Gib drei weitere Punkte an, die auf der Ebene liegen.

Zum Beispiel: $P_1(14|16|16)$ , $P_2(3,5|5,5|11)$ und $P_3(7|9|16,5)$

Gib ein passendes r und s an, sodass der Punkt $S(3|5|20)$ erreicht wird.

$r=-1$ und $s=2$

Lasse dir die Gleichung der Ebene anzeigen und beschreibe die Funktion der Bestandteile.

E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \begin{pmatrix}8\\10\\10\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}, \ r,s \in \mathbb{R}

Denke an die Bestandteile der Parameterform einer Geraden. Kannst du bei der Ebene ähnliches entdecken.

Es gibt einen Stützvektor $\vec{a}$ und zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , die mit Parametern verlängert werden können. Ähnlich zu dem Richtungsvektor bei der Parameterform einer Geraden. Der Vektor $\vec{x}$ steht stellvertretend für alle Ortvektoren zu Punkten, die in der Ebene liegen.

Parameterform der Ebene

Gehe zur nächsten Seite (Formel) und schaue dir an wie die Parameterform einer Ebene aufgestellt werden kann.