Winkel zwischen Vektoren

Vom Skalarprodukt zum Winkel

Du weißt bereits, wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet. Nun lernst du, wie du mithilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen kannst.

Forschungsauftrag

Betrachte die beiden Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$ .

Zeichne die Vektoren in ein Koordinatensystem. Welchen Winkel schließen sie ein?

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Der eingeschlossene Winkel beträgt 90°.

Berechne das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 0$

Was fällt dir bei orthogonalen (senkrechten) Vektoren und ihrem Skalarprodukt auf?

Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Skalarprodukt null.

Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ kann auch geometrisch interpretiert werden:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

Herleitung der Winkelformel

Aus der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts folgt:

Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird berechnet durch:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

und somit:

$\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Beispiel

Bestimme den Winkel zwischen $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Skalarprodukt: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1$
Beträge: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
Winkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$

Spezialfälle

Spezielle Winkel:

$\alpha = 0°$ : Vektoren zeigen in dieselbe Richtung (parallel)
$\alpha = 90°$ : Vektoren sind orthogonal (senkrecht)
$\alpha = 180°$ : Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen (antiparallel)

Forschungsauftrag: Spezialfälle untersuchen

Überprüfe die folgenden Aussagen:

Wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ , dann ist $\alpha = 0°$ .

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = 1$

$\alpha = \arccos(1) = 0°$

Die Aussage ist richtig.

Wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , dann ist $\alpha = 90°$ .

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{0}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = 0$

$\alpha = \arccos(0) = 90°$

Die Aussage ist richtig.

Wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ , dann ist $\alpha = 180°$ .

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = -1$

$\alpha = \arccos(-1) = 180°$

Die Aussage ist richtig.