Das hast du gelernt

Schnittwinkel von Geraden: Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ ist: $\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\right)$

Betragszeichen: Der Betrag sorgt dafür, dass der Schnittwinkel immer zwischen 0° und 90° liegt.

Spezialfälle:

Parallel: $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ → Schnittwinkel = 0°
Orthogonal: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$ → Schnittwinkel = 90°

Lagebeziehungen: Auch windschiefe Geraden haben einen definierten Schnittwinkel (Winkel ihrer Richtungsvektoren).

Prüfe dich

Aufgabe 1: Grundberechnung

Berechne den Schnittwinkel der Geraden: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0$

Da das Skalarprodukt null ist, sind die Geraden orthogonal.

Schnittwinkel: $\alpha = 90°$

Aufgabe 2: Parallelität erkennen

Sind die Geraden parallel? Begründe deine Antwort. $h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-6\\9\end{pmatrix}$ $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}3\\-6\\9\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Prüfung auf lineare Abhängigkeit: $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ ?

$\begin{pmatrix}3\\-6\\9\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-3\end{pmatrix}$

Aus jeder Komponente: $k = -3$

Da $k$ für alle Komponenten gleich ist, sind die Richtungsvektoren linear abhängig.

Ja, die Geraden sind parallel mit Schnittwinkel 0°.

Aufgabe 3: Schnittwinkel 45°

Prüfe, ob der Schnittwinkel der Geraden 45° beträgt: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$

Beträge: $|\vec{v_1}| = 1$ , $|\vec{v_2}| = \sqrt{2}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Winkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45°$

Ja, der Schnittwinkel beträgt 45°.

Aufgabe 4: Parameter bestimmen

Bestimme $k$ so, dass die Geraden einen Schnittwinkel von 60° haben: $g_1: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \vec{b} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\k\\0\end{pmatrix}$

Für Schnittwinkel 60°: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\k\\0\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 2 \cdot 1 = 2$

Beträge: $|\vec{v_1}| = 2$ , $|\vec{v_2}| = \sqrt{1 + k^2}$

Formel: $\frac{|2|}{2 \cdot \sqrt{1 + k^2}} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{1 + k^2}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt{1 + k^2} = 2$

$1 + k^2 = 4$

$k^2 = 3$

$k = \pm\sqrt{3}$

Aufgabe 5: Anwendung Architektur

Zwei Träger eines Gebäudes verlaufen entlang der Richtungen:

Träger A: $\vec{r_A} = \begin{pmatrix}6\\8\\0\end{pmatrix}$
Träger B: $\vec{r_B} = \begin{pmatrix}8\\-6\\0\end{pmatrix}$

Unter welchem Winkel treffen sich die Träger?

Skalarprodukt: $\vec{r_A} \cdot \vec{r_B} = 6 \cdot 8 + 8 \cdot (-6) + 0 \cdot 0 = 48 - 48 = 0$

Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Träger senkrecht aufeinander.

Schnittwinkel: $\alpha = 90°$

Aufgabe 6: Komplexere Berechnung

Berechne den Schnittwinkel der Geraden: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 2 + 2 = 2$

Beträge:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$
$|\vec{v_2}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{|2|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$

Schnittwinkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \approx 73{,}2°$

Aufgabe 7: Windschiefe Geraden

Zeige, dass die Geraden windschief sind und berechne ihren Schnittwinkel: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

1. Nachweis, dass sie windschief sind:

Prüfung auf Parallelität: Richtungsvektoren $\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ sind nicht linear abhängig → nicht parallel.

Schnittpunkt suchen: $\begin{pmatrix}1+t\\t\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\s\\1+s\end{pmatrix}$

Gleichungssystem: \begin{align*} 1 + t &= 0 \quad \Rightarrow \quad t = -1 \ t &= s \quad \Rightarrow \quad s = -1 \ 0 &= 1 + s \quad \Rightarrow \quad s = -1 \end{align*}

Die dritte Gleichung ist erfüllt, aber die erste ergibt $0 = 1$ (Widerspruch).

→ Geraden sind windschief.

2. Schnittwinkel:

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$

Beträge: $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = \sqrt{2}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Schnittwinkel: $\alpha = 60°$