Bestimme jeweils den Flächeninhalt der gefärbten Flächen.
f(x) = 2, (-4 <= x <= -2)
ShowLabel(f, false)
g(x) = -0.5x +1, (-2 <= x <= 0)
ShowLabel(g, false)
h(x) = 0.5x + 1, (0 <= x <= 2)
ShowLabel(h, false)
p(x) = 2, (2 <= x <= 4)
ShowLabel(p, false)
a = Integral(f, -4, -2)
ShowLabel(a, false)
b = Integral(g, -2, 0)
ShowLabel(b, false)
c = Integral(h, 0, 2)
ShowLabel(c, false)
d = Integral(p, 2, 4)
ShowLabel(d, false)
f(x) = -2x -2, (-4 <= x <= 0)
ShowLabel(f, false)
h(x) = -2, (0 <= x <= 2)
ShowLabel(h, false)
p(x) = 1x - 4, (2 <= x <= 4)
ShowLabel(p, false)
a = Integral(f, -4, 0)
ShowLabel(a, false)
c = Integral(h, 0, 2)
ShowLabel(c, false)
d = Integral(p, 2, 4)
ShowLabel(d, false)
Berechne jeweils das Integral.
a)
∫
−
1
1
2
x
2
d
x
\int_{-1}^{1} 2x^2 \, dx
∫ − 1 1 2 x 2 d x
Lösung
A
≈
1
,
33
A \approx 1,33
A ≈ 1 , 33
b)
∫
0
2
3
x
2
d
x
\int_{0}^{2} 3x^2 \, dx
∫ 0 2 3 x 2 d x
c)
∫
−
2
2
1
2
x
2
+
3
x
+
5
d
x
\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^2 + 3x + 5 \, dx
∫ − 2 2 2 1 x 2 + 3 x + 5 d x
Lösung
A
=
22
,
67
A = 22,67
A = 22 , 67
Um die Temperatur in einem Gewächshaus zu regulieren, wurde ein Heizsystem installiert. Bei kaltem Wetter wird die Wärme von der Heizung in den Raum geleitet. In das Heizsystem wurde ein Thermometer eingebaut, das kontinuierlich die Temperaturentwicklung registriert und als Graph aufzeichnet. Ein solcher Graph ist in der nachfolgenden Abbildung vereinfacht dargestellt. Die Zeit wird in Stunden und die Temperaturerhöhung in der Einheit °C pro Stunde gemessen.
c = Slider[0.001, 0.1, 0.001, 0.01]
T = c(x - 20)^2 * x
a) Erkläre das Verhalten der Funktion T anhand des abgebildeten Graphen im Sachzusammenhang.
Lösung
Die Temperaturänderung ist die ganze Zeit positiv. Nach 20 Stunden ist die Temperaturänderung am geringesten. Danach steigt diese wieder an.
b) Begründe, dass eine lineare Funktion zur Modellierung nicht ausreicht.
Lösung
Eine lineare Funktion würde eine konstante Steigung bedeuten, was nicht dem Verhalten des Graphen entspricht. Sie würde auch nicht zur Modellierung ausreichen, da die Temperaturänderung nicht konstant ist.
c) Die Funktion T kann durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades in der Form
T
(
t
)
=
c
⋅
(
t
−
20
)
2
⋅
t
,
t
∈
[
0
;
40
]
T(t)=c⋅(t−20)^2⋅t, \ t \in [0;40]
T ( t ) = c ⋅ ( t − 20 ) 2 ⋅ t , t ∈ [ 0 ; 40 ] beschrieben werden. Gehe davon aus, dass die Temperaturänderung nach 10 Stunden
0
,
1
°C
0,1 \, \text{°C}
0 , 1 °C
Lösung
Die Temperaturänderung nach 10 Stunden beträgt
0
,
1
°C
0,1 \, \text{°C}
0 , 1 °C
t
=
10
t = 10
t = 10
0
,
1
0,1
0 , 1
T
(
10
)
=
0
,
1
c
⋅
(
10
−
20
)
2
⋅
10
=
0
,
1
c
⋅
100
⋅
10
=
0
,
1
c
=
0
,
1
1000
=
0
,
0001
\begin{align*}
T(10) &= 0,1 \\
c \cdot \left( 10 - 20 \right)^2 \cdot 10 &= 0,1 \\
c \cdot 100 \cdot 10 &= 0,1 \\
c &= \frac{0,1}{1000} = 0,0001
\end{align*}
T ( 10 ) c ⋅ ( 10 − 20 ) 2 ⋅ 10 c ⋅ 100 ⋅ 10 c = 0 , 1 = 0 , 1 = 0 , 1 = 1000 0 , 1 = 0 , 0001
d) Zu Beginn der aufgezeichneten Messung betrug die Temperatur im Gewächshaus 10 °C. Bestimme aus der Funktion T die Bestandsfunktion G, die die Temperatur im Gewächshaus in °C zum Zeitpunkt t in Stunden angibt.
Lösung
Die Bestandsfunktion G ergibt sich durch Integration der Funktion T:
G
(
t
)
=
∫
T
(
t
)
d
t
=
∫
0
,
0001
⋅
(
t
−
20
)
2
⋅
t
d
t
=
∫
0
,
0001
⋅
(
t
2
−
40
t
+
400
)
⋅
t
d
t
=
0
,
0001
⋅
∫
(
t
3
−
40
t
2
+
400
t
)
d
t
=
0
,
0001
⋅
(
1
4
t
4
−
40
3
t
3
+
200
t
2
)
+
C
\begin{align*}
G(t) &= \int T(t) \, dt \\
&= \int 0,0001 \cdot (t - 20)^2 \cdot t \, dt \\
&= \int 0,0001 \cdot (t^2 - 40t + 400) \cdot t \, dt \\
&= 0,0001 \cdot \int (t^3 - 40t^2 + 400t) \, dt \\
&= 0,0001 \cdot \left( \frac{1}{4}t^4 - \frac{40}{3}t^3 + 200t^2 \right) + C
\end{align*}
G ( t ) = ∫ T ( t ) d t = ∫ 0 , 0001 ⋅ ( t − 20 ) 2 ⋅ t d t = ∫ 0 , 0001 ⋅ ( t 2 − 40 t + 400 ) ⋅ t d t = 0 , 0001 ⋅ ∫ ( t 3 − 40 t 2 + 400 t ) d t = 0 , 0001 ⋅ ( 4 1 t 4 − 3 40 t 3 + 200 t 2 ) + C Da die Temperatur zu Beginn der Messung 10 °C betrug, gilt:
G
(
0
)
=
10
0
,
0001
⋅
(
1
4
⋅
0
4
−
40
3
⋅
0
3
+
200
⋅
0
2
)
+
C
=
10
C
=
10
\begin{align*}
G(0) &= 10 \\
0,0001 \cdot \left( \frac{1}{4} \cdot 0^4 - \frac{40}{3} \cdot 0^3 + 200 \cdot 0^2 \right) + C &= 10 \\
C &= 10
\end{align*}
G ( 0 ) 0 , 0001 ⋅ ( 4 1 ⋅ 0 4 − 3 40 ⋅ 0 3 + 200 ⋅ 0 2 ) + C C = 10 = 10 = 10 Die Bestandsfunktion G lautet also:
G
(
t
)
=
0
,
0001
⋅
(
1
4
t
4
−
40
3
t
3
+
200
t
2
)
+
10
G(t) = 0,0001 \cdot \left( \frac{1}{4}t^4 - \frac{40}{3}t^3 + 200t^2 \right) + 10
G ( t ) = 0 , 0001 ⋅ ( 4 1 t 4 − 3 40 t 3 + 200 t 2 ) + 10
e) Berechne, wie hoch die Temperatur im Gewächshaus nach 40 Stunden ist.
Lösung
Die Temperatur nach 40 Stunden ergibt sich durch Einsetzen von
t
=
40
t = 40
t = 40
G
(
40
)
=
0
,
0001
⋅
(
1
4
⋅
4
0
4
−
40
3
⋅
4
0
3
+
200
⋅
4
0
2
)
+
10
=
20
,
67
\begin{align*}
G(40) &= 0,0001 \cdot \left( \frac{1}{4} \cdot 40^4 - \frac{40}{3} \cdot 40^3 + 200 \cdot 40^2 \right) + 10 \\
&= 20,67
\end{align*}
G ( 40 ) = 0 , 0001 ⋅ ( 4 1 ⋅ 4 0 4 − 3 40 ⋅ 4 0 3 + 200 ⋅ 4 0 2 ) + 10 = 20 , 67 Die Temperatur im Gewächshaus beträgt also nach 40 Stunden
20
,
67
20,67
20 , 67
f) Berechne, wann die Temperatur in den ersten 40 Stunden ihr Maximum erreicht.
Lösung
Das Maximum der Temperatur entspricht dem Maximum der Funktion G. Dieses Maximum liegt an der Stelle, an der die Ableitung der Funktion G den Wert 0 hat. Die Ableitung der Funktion G ist T:
G
′
(
t
)
=
T
(
t
)
\begin{align*}
G'(t) &= T(t)
\end{align*}
G ′ ( t ) = T ( t ) Das Maximum der Temperatur liegt also an der Stelle, an der die Funktion T den Wert 0 hat.
T
(
t
)
=
0
,
0001
⋅
(
t
−
20
)
2
⋅
t
=
0
(
t
−
20
)
2
⋅
t
=
0
t
=
0
oder
t
=
20
\begin{align*}
T(t) = 0,0001 \cdot (t - 20)^2 \cdot t &= 0 \\
(t - 20)^2 \cdot t &= 0 \\
t &= 0 \ \text{oder} \ t = 20
\end{align*}
T ( t ) = 0 , 0001 ⋅ ( t − 20 ) 2 ⋅ t ( t − 20 ) 2 ⋅ t t = 0 = 0 = 0 oder t = 20 Überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt:
T
′
(
t
)
=
0
,
0001
⋅
(
3
t
2
−
120
t
+
400
)
T
′
(
0
)
=
0
,
0001
⋅
(
3
⋅
0
2
−
120
⋅
0
+
400
)
=
0
,
4
T
′
(
20
)
=
0
,
0001
⋅
(
3
⋅
2
0
2
−
120
⋅
20
+
400
)
=
−
0
,
4
\begin{align*}
T'(t) &= 0,0001 \cdot (3t^2 - 120t + 400) \\
T'(0) &= 0,0001 \cdot (3 \cdot 0^2 - 120 \cdot 0 + 400) = 0,4 \\
T'(20) &= 0,0001 \cdot (3 \cdot 20^2 - 120 \cdot 20 + 400) = -0,4 \\
\end{align*}
T ′ ( t ) T ′ ( 0 ) T ′ ( 20 ) = 0 , 0001 ⋅ ( 3 t 2 − 120 t + 400 ) = 0 , 0001 ⋅ ( 3 ⋅ 0 2 − 120 ⋅ 0 + 400 ) = 0 , 4 = 0 , 0001 ⋅ ( 3 ⋅ 2 0 2 − 120 ⋅ 20 + 400 ) = − 0 , 4 Nach 20 Stunden wird ein lokales Maximum erreicht.
Um das globale Maximum im Interval
[
0
,
40
]
[0,40]
[ 0 , 40 ]
G
(
0
)
=
10
G
(
20
)
=
11
,
33
G
(
40
)
=
20
,
67
\begin{align*}
G(0) &= 10 \\
G(20) &= 11,33 \\
G(40) &= 20,67 \\
\end{align*}
G ( 0 ) G ( 20 ) G ( 40 ) = 10 = 11 , 33 = 20 , 67 Das globale Maximum wird also nach 40 Stunden mit
20
,
67
°
C
20,67 °C
20 , 67° C
Das Logo eines Optikers wurde mithilfe von zwei Funktionen neu gestaltet.
Die Funktionen
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
g
(
x
)
=
−
f
(
x
)
g(x)=-f(x)
g ( x ) = − f ( x )
Die Funktion
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
T
(
1
∣
−
1
)
T(1|-1)
T ( 1∣ − 1 )
f(x) = 0.5x^3 - 1.5x
g(x) = -f(x)
a) Ermittle die Funktionsgleichungen zu den beiden Graphen.
Lösung
Zunächst stellen wir die allgemeine Funktionsgleichung einer punktsymmetrischen Funktion dritten Grade auf:
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
f
′
(
x
)
=
3
a
x
2
+
b
\begin{align*}
f(x) &= ax^3 + bx \\
f'(x) &= 3ax^2 + b \\
\end{align*}
f ( x ) f ′ ( x ) = a x 3 + b x = 3 a x 2 + b Der Tiefpunkt
T
(
1
∣
−
1
)
T(1|-1)
T ( 1∣ − 1 )
x
=
1
x = 1
x = 1
f
′
(
1
)
=
0
f
(
1
)
=
−
1
\begin{align*}
f'(1) &= 0 \\
f(1) &= -1 \\
\end{align*}
f ′ ( 1 ) f ( 1 ) = 0 = − 1 Damit erhalten wir zwei Gleichungen:
3
a
+
b
=
0
a
+
b
=
−
1
\begin{align*}
3a + b &= 0 \\
a + b &= -1 \\
\end{align*}
3 a + b a + b = 0 = − 1 Daraus ergibt sich
a
=
0
,
5
a = 0,5
a = 0 , 5
b
=
−
1
,
5
b = -1,5
b = − 1 , 5
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
f
(
x
)
=
0
,
5
x
3
−
1
,
5
x
f(x) = 0,5x^3 - 1,5x
f ( x ) = 0 , 5 x 3 − 1 , 5 x Die Funktionsgleichung von
g
(
x
)
g(x)
g ( x )
g
(
x
)
=
−
f
(
x
)
g(x) = -f(x)
g ( x ) = − f ( x )
g
(
x
)
=
−
0
,
5
x
3
+
1
,
5
x
g(x) = -0,5x^3 + 1,5x
g ( x ) = − 0 , 5 x 3 + 1 , 5 x
b) Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird.
Lösung
Scnittstellen berechnen:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
0
,
5
x
3
−
1
,
5
x
=
−
0
,
5
x
3
+
1
,
5
x
x
3
−
3
x
=
0
x
(
x
2
−
3
)
=
0
x
1
=
0
x
2
=
3
x
3
=
−
3
\begin{align*}
f(x) &= g(x) \\
0,5x^3 - 1,5x &= -0,5x^3 + 1,5x \\
x^3 - 3x &= 0 \\
x(x^2 - 3) &= 0 \\
x_1 &= 0 \\
x_2 &= \sqrt{3} \\
x_3 &= -\sqrt{3} \\
\end{align*}
f ( x ) 0 , 5 x 3 − 1 , 5 x x 3 − 3 x x ( x 2 − 3 ) x 1 x 2 x 3 = g ( x ) = − 0 , 5 x 3 + 1 , 5 x = 0 = 0 = 0 = 3
= − 3
Flächen berechnen:
A
1
=
∫
−
3
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
A
2
=
∫
0
3
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
A
1
=
2
,
25
FE
A
2
=
−
2
,
25
FE
A
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
=
4
,
5
FE
\begin{align*}
A_1 &= \int_{-\sqrt{3}}^{0} f(x) - g(x) \, dx \\
A_2 &= \int_{0}^{\sqrt{3}} f(x) - g(x) \, dx \\
A_1 = 2,25 \, \text{FE} \\
A_2 = -2,25 \, \text{FE} \\
A &= |A_1| + |A_2| = 4,5 \, \text{FE}
\end{align*}
A 1 A 2 A 1 = 2 , 25 FE A 2 = − 2 , 25 FE A = ∫ − 3
0 f ( x ) − g ( x ) d x = ∫ 0 3
f ( x ) − g ( x ) d x = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ = 4 , 5 FE
Ein alternativer Vorschlag sieht ein asymmetrisches Logo vor. Dies soll besser ins moderne Design des Optikers passen.
Der Graph f bleibt unberührt. Der Graph von g wird mit dem Faktor von
0
,
5
0,5
0 , 5
f(x) = 0.5x^3 - 1.5 x
g(x) = -0.5*f(x)
c) Bestimme den Flächenunterschied der beiden Vorschläge in Prozent.
Lösung
Die neue Funktionsgleichung für
g
(
x
)
g(x)
g ( x )
g
(
x
)
=
−
0
,
5
⋅
0
,
5
x
3
+
1
,
5
x
=
−
0
,
25
x
3
+
1
,
5
x
g(x) = -0,5 \cdot 0,5x^3 + 1,5x = -0,25x^3 + 1,5x
g ( x ) = − 0 , 5 ⋅ 0 , 5 x 3 + 1 , 5 x = − 0 , 25 x 3 + 1 , 5 x
Schnittpunkte berechnen:
Die Funktionen haben die gleichen Schnittpunkte wie zuvor:
x
1
=
0
x
2
=
3
x
3
=
−
3
\begin{align*}
x_1 &= 0 \\
x_2 &= \sqrt{3} \\
x_3 &= -\sqrt{3} \\
\end{align*}
x 1 x 2 x 3 = 0 = 3
= − 3
Flächen berechnen:
A
1
=
∫
−
3
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
A
2
=
∫
0
3
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
A
1
=
1.6875
FE
A
2
=
−
1.6875
FE
A
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
=
3.375
FE
\begin{align*}
A_1 &= \int_{-\sqrt{3}}^{0} f(x) - g(x) \, dx \\
A_2 &= \int_{0}^{\sqrt{3}} f(x) - g(x) \, dx \\
A_1 = 1.6875 \, \text{FE} \\
A_2 = -1.6875 \, \text{FE} \\
A &= |A_1| + |A_2| = 3.375 \, \text{FE}
\end{align*}
A 1 A 2 A 1 = 1.6875 FE A 2 = − 1.6875 FE A = ∫ − 3
0 f ( x ) − g ( x ) d x = ∫ 0 3
f ( x ) − g ( x ) d x = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ = 3.375 FE
Flächenunterschied berechnen:
Fl
a
¨
chenunterschied
=
4
,
5
−
3
,
375
=
1
,
125
FE
Fl
a
¨
chenunterschied in Prozent
=
1
,
125
4
,
5
⋅
100
=
25
%
\begin{align*}
\text{Flächenunterschied} &= 4,5 - 3,375 = 1,125 \, \text{FE} \\
\text{Flächenunterschied in Prozent} &= \frac{1,125}{4,5} \cdot 100 = 25 \%
\end{align*}
Fl a ¨ chenunterschied Fl a ¨ chenunterschied in Prozent = 4 , 5 − 3 , 375 = 1 , 125 FE = 4 , 5 1 , 125 ⋅ 100 = 25%
