Punkte und Vektoren im Raum

Vom zweidimensionalen zum dreidimensionalen Raum

In der Mittelstufe hast du bereits mit Punkten und Vektoren in der Ebene (2D) gearbeitet. Nun erweitern wir unser Wissen auf den dreidimensionalen Raum.

Forschungsauftrag

Betrachte die folgenden Punkte im dreidimensionalen Raum:

$A(2|3|1)$
$B(5|1|4)$
$C(1|6|2)$

Wie viele Koordinaten benötigt man zur Beschreibung eines Punktes im Raum?

Im dreidimensionalen Raum benötigt man drei Koordinaten: x-, y- und z-Koordinate.

Welche Achsen gibt es in einem dreidimensionalen Koordinatensystem?

Es gibt drei Achsen:

x-Achse (horizontale Achse)
y-Achse (vertikale Achse in der Ebene)
z-Achse (räumliche Tiefe)

Bestimme den Vektor $\vec{AB}$ von A nach B.

$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}5\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}$

Definition: Vektor im Raum

Ein Vektor im Raum ist eine gerichtete Strecke, die durch drei Komponenten beschrieben wird:

$\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

wobei $v_1$ , $v_2$ und $v_3$ die Komponenten in x-, y- und z-Richtung sind.

Betrag eines Vektors

Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Beispiel

Gegeben sei der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\-2\\6\end{pmatrix}$ .

Berechnung des Betrags:

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Jeden Vektor $\vec{v}$ kann man in einen Einheitsvektor umwandeln durch:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$