✏️ Gemischte Aufgaben

Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Exponentilafunktionen ableiten

Leite die folgenden Funktionen ab und fasse so weit wie möglich zusammen.

\begin{align*} f(x) &= e^{\frac{1}{2}x+3} \\ g(x) &= e^{2x} + \sqrt{2} \cdot 4^{x} \\ h(x) &= 5 \cdot (e^{x} + e^{-x}) \\ \end{align*}

\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x+3} \\ g'(x) &= 2 \cdot e^{2x} + \sqrt{2} \cdot 4^{x} \cdot \ln(4) \\ h'(x) &= 5 \cdot (e^{x} - e^{-x}) \\ \end{align*}

Aufgabe 2: Exponentialfunktionen integrieren

Berechne das Integral und fasse so weit wie möglich zusammen.

a) $\int_{0}^{1} e^{x} + e^{-x} \, dx$

b) $\int_{0}^{1} e^{2x} + 4^{x} \, dx$

c) $\int_{-1}^{0} e^{2x+3} \, dx$

a) $\int_{0}^{1} e^{x} + e^{-x} \, dx = \left[e^{x} - e^{-x}\right]_{0}^{1} = e - \frac{1}{e} - (1 - 1) = e - \frac{1}{e}$

b) $\int_{0}^{1} e^{2x} + 4^{x} \, dx = \left[\frac{1}{2} e^{2x} + \frac{4^{x}}{\ln(4)}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} e^{2} + \frac{4}{\ln(4)} - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{\ln(4)}\right) = \frac{1}{2}(e^{2}-1) + \frac{3}{\ln(4)}$

c) $\int_{-1}^{0} e^{2x+3} \, dx = \left[\frac{1}{2} e^{2x+3}\right]_{-1}^{0} = \frac{1}{2}(e^{3}-\frac{1}{e})$

Aufgabe 3: Graphen zuordnen

Ordne den Graphen den Funktionen zu.

{A{f|!g|h}} $(x) = e^{x} + e^{-x}$
{A{!f|g|h}} $(x) = e^{x + 1}$
{A{f|g|!h}} $(x) = e^{x} - x$

Aufgabe 4: Flächeninhalt berechnen

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 4 - e^{x}$ .

a) Beschreibe das Verhalten der Funktion im $\pm$ Unendlichen.

Die Funktion $f(x) = 4 - e^{x}$ hat für $x \to -\infty$ den Grenzwert $f(x) \to 4$ , da $\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0$ gilt.

Für $x \to +\infty$ hat die Funktion den Grenzwert $f(x) \to -\infty$ , da $\lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty$ gilt.

b) Bestimmte die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Die Funktion $f(x) = 4 - e^{x}$ hat den Schnittpunkt mit der y-Achse bei $f(0) = 4 - e^{0} = 3$ .

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist $f(x) = 0$ :

\begin{align*} 4 - e^{x} &= 0 &&| +e^{x} \\ 4 &= e^{x} &&| \ln(...) \\ x &= \ln(4) \end{align*}

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist also $P(\ln(4), 0)$ .

c) Berechne den Flächeninhalt, den der Graph der Funktion $f$ mit den Koordinatenachsen einschließt.

Die Fläche ist von der y-Achse bis zur Nullstelle begrenzt. Diese Nullstelle ist $x = \ln(4)$ .

Daher ist der Flächeninhalt $A$ gegeben durch:

A = \int_{0}^{\ln(4)} (4 - e^{x}) \, dx = \left[4x - e^{x}\right]_{0}^{\ln(4)} = 4 \cdot \ln(4) - e^{\ln(4)} + 1 = 4 \cdot \ln(4) - 3

Der Flächeninhalt ist also $A = 4 \cdot \ln(4) - 3$ .

Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabe 1: Kanninchenpopulation

Eine Kanninchenpopulation wächst exponentiell und hat sich in 10 Jahren von 100 auf 600 Kanninchen vermehrt.

a) Bestimme die Funktion $f(t)$ , die die Anzahl der Kanninchen in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt.

Die Funktion $f(t)$ beschreibt die Anzahl der Kanninchen in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Jahren.

Die Anfangspopulation ist $f(0) = 100$ . Die Wachstumsrate $b$ kann aus der Bedingung $f(10) = 600$ bestimmt werden.

\begin{align*} f(10) &= 100 \cdot q^{10} = 600 &&| : 100 \\ q^{10} &= 6 &&| \sqrt[10]{...} \\ q &= \sqrt[10]{6} \end{align*}

Die Wachstumsrate ist also $b = \sqrt[10]{6}$ .

Die Funktion $f(t)$ ist also gegeben durch:

f(t) = 100 \cdot \sqrt[10]{6}^{t} = 100 \cdot 6^{\frac{t}{10}}

b) Bestimme die Verdopplungszeit der Kanninchenpopulation.

Für die Verdopplungszeit gilt die Formel:

\begin{align*} t_{v} = \frac{\ln(2)}{b} \end{align*}

Die Wachstumsrate $b$ ist gegeben durch $b = \sqrt[10]{6}$ .

Daher ist die Verdopplungszeit:

t_{v} = \frac{\ln(2)}{\sqrt[10]{6}} \approx 3,5

Die Kanninchenpopulation verdoppelt sich also alle 3,5 Jahre.

Aufgabe 2: Akku laden

Ein Akku der zu $40\%$ geladen ist, wird nun weiter geladen. Die momentane Ladegeschwindigkeit ist gegeben durch:

$L(t) = 8 \cdot e^{-0,2 \cdot t}$ ( $t$ in Minuten, $L(t)$ in % Ladung pro Minute)

a) Wird der Akku schneller oder langsamer geladen mit der Zeit?

Die Funktion $L(t)$ beschreibt die momentane Ladegeschwindigkeit des Akkus. Es gilt $L(t) > 0$ für alle $t \geq 0$ , da die Exponentialfunktion immer positiv ist. Das bedeutet, dass der Akku langsamer geladen wird mit der Zeit.

b) Der Ladezustand des Akkus wird durch die Funktion $F(t)=-40 \cdot e^{-0.2 \cdot t} + 80$ beschrieben. Zeige, dass $F(t)$ eine Stammfunktion von $L(t)$ ist.

c) Berechne wie hoch der Ladezustand nach 10 Minuten ist. Runde auf zwei Dezimalstellen.

Antwort: Nach 10 Minuten beträgt der Ladezustand {z{74,59}} %.

Um den Ladezustand nach 10 Minuten zu berechnen, müssen wir das Integral der Funktion $L(t)$ von 0 bis 10 berechnen:

\begin{align*} F(10) &= -40 \cdot e^{-0.2 \cdot 10} + 80 \\ &= -40 \cdot e^{-2} + 80 \\ &\approx -40 \cdot 0.1353 + 80 \\ &\approx -5.412 + 80 \\ &\approx 74.59 \end{align*}

d) Begründe, warum der Ladezustand des Akkus in dieser mathematischen Modellerung langfristig nicht 100 % erreichen kann.

Langfristig nähert sich die Funktion $F(t) = -40 \cdot e^{-0.2 \cdot t} + 80$ dem Wert 80, da die Exponentialfunktion gegen 0 geht. Das bedeutet, dass der Akku langfristig nicht 100 % erreichen kann, sondern nur 80 %.

Aufgabe 3: Temperaturverlauf eines Kühlvorgangs

Nach der Schockkühlung eines warmen Produkts und der Einlagerung in einen Kühlraum wurde folgende Funktion zur Temperaturentwicklung aufgestellt. Auf der y-Achse ist die Temperatur in °C, auf der x-Achse sind die Stunden seit der Einlagerung abgetragen.

f(x) = -8e^{-0,4x} + 24e^{-1.2x} + 4

a) Untersuche das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Die Funktion $f(x) = -8e^{-0,4x} + 24e^{-1.2x} + 4$ hat für $x \to -\infty$ den Grenzwert $f(x) \to \infty$ , da die Exponentialfunktionen gegen unendlich gehen.

Für $x \to +\infty$ hat die Funktion den Grenzwert $f(x) \to 4$ , da die Exponentialfunktionen gegen 0 gehen.

Die Funktion hat also für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ den Grenzwert 4.

b) Beschreibe den Verlauf des Graphens im Intervall $[0,18]$

Der Graph der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0,18]$ zeigt starken Abfall, dann einen leichten Anstieg und schließlich eine Annäherung an den Wert 4.

Im Intervall $[0,18]$ beginnt die Funktion bei $f(0) = 20$ und erreicht ihren Tiefpunkt bei $x \approx 2.1$ . Danach steigt die Funktion wieder und annähert sich asymptotisch dem Wert 4.

c) Zeige, dass die Funktion $f$ an der Stelle $x=5 \cdot \frac{ln(3)}{2}$ ein Minimum besitzt.

Dafür bilden wir die Ableitung $f'(x)$ und setzen die Stelle $x=5 \cdot \frac{ln(3)}{2}$ ein:

\begin{align*} f'(x) &= -8 \cdot (-0,4) \cdot e^{-0,4x} + 24 \cdot (-1,2) \cdot e^{-1,2x} \\ &= 3,2 \cdot e^{-0,4x} - 28,8 \cdot e^{-1,2x} \\ f'(5 \cdot \frac{ln(3)}{2}) &= 3,2 \cdot e^{-0,4 \cdot 5 \cdot \frac{ln(3)}{2}} - 28,8 \cdot e^{-1,2 \cdot 5 \cdot \frac{ln(3)}{2}} \\ &= 0 \end{align*}

Jetzt wissen wir, dass es sich um eine Extremstelle handelt.

Nun überprüfen wir, ob es sich um ein Minimum handelt. Dazu bilden wir die zweite Ableitung $f''(x)$ :

\begin{align*} f''(x) &= 3,2 \cdot (-0,4) \cdot e^{-0,4x} + 28,8 \cdot (-1,2) \cdot e^{-1,2x} \\ &= 1,28 \cdot e^{-0,4x} + 35,04 \cdot e^{-1,2x} \\ f''(5 \cdot \frac{ln(3)}{2}) &= 1,28 \cdot e^{-0,4 \cdot 5 \cdot \frac{ln(3)}{2}} + 35,04 \cdot e^{-1,2 \cdot 5 \cdot \frac{ln(3)}{2}} \\ &\approx 1,72 > 0 \\ \end{align*}

Damit ist $f''(5 \cdot \frac{ln(3)}{2}) > 0$ und es handelt sich um ein Minimum.

Diese Funktion könnte für die Prognose der Temperaturentwicklung nach dem Einlagern eines warmen Produkts in einen gekühlten Lagerraum genutzt werden:

Ein Produkt wird bei Raumtemperatur (ca. 20 °C) Schockgekühlt, das heißt stark heruntergekühlt. Anschließend wurde das Produkt in den Kühlschrank gelegt.

d) Interpretiere die Bedeutung des Extremwertes der Funktion im Sachzusammenhang.

Der Extremwert der Funktion $f(x)$ beschreibt den Zeitpunkt, an dem die Temperatur des Produkts am niedrigsten ist. Dies ist die Temperatur nach der Schockkühlung. Im Kühlschrank stabilisiert sich die Temperatur und geht langfristig gegen 4 °C.

e) Erkläre die Bedeutung der 4 in der Funktionsgleichung im Sachzusammenhang.

Die 4 in der Funktionsgleichung $f(x) = -8e^{-0,4x} + 24e^{-1,2x} + 4$ beschreibt die Umgebungstemperatur des Kühlraums. Langfristig wird die Temperatur des Produkts asymptotisch gegen diesen Wert konvergieren.