Das hast du gelernt

Parameterform einer Geraden: $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

$\vec{a}$ : Ortsvektor (Stützvektor)
$\vec{v}$ : Richtungsvektor
$t$ : Parameter

Gerade durch zwei Punkte: Richtungsvektor ist $\vec{AB} = B - A$

Lagebeziehungen im Raum:

Identisch: gleiche Gerade
Parallel: $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ , kein gemeinsamer Punkt
Schneidend: genau ein Schnittpunkt
Windschief: kein Schnittpunkt, nicht parallel

Punktprobe: Ein Punkt P liegt auf der Geraden, wenn $\vec{OP} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ für ein $t$ erfüllt ist.

Prüfe dich

Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen

Stelle die Parameterform der Geraden durch die Punkte $A(1|3|-2)$ und $B(4|1|1)$ auf.

Richtungsvektor: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\1-3\\1-(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}$

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}$

Aufgabe 2: Punktprobe

Liegt der Punkt $P(7|-1|7)$ auf der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}$ ?

Ansatz: $\begin{pmatrix}7\\-1\\7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-2\\3\end{pmatrix}$

Komponentenweise: \begin{align*} x: \quad 7 &= 1 + 3t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \ y: \quad -1 &= 3 - 2t \quad \Rightarrow \quad t = 2 \ z: \quad 7 &= -2 + 3t \quad \Rightarrow \quad t = 3 \end{align*}

Da sich verschiedene Werte für $t$ ergeben, liegt P nicht auf der Geraden.

Aufgabe 3: Lagebeziehung

Untersuche die Lagebeziehung der Geraden: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren vergleichen: $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v_1}$

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig → Geraden sind parallel.

Prüfen, ob identisch: Liegt $(1|-1|4)$ auf $g_1$ ? $\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

x: $1 = 2 + r \Rightarrow r = -1$ y: $-1 = 1 + 2r \Rightarrow r = -1$ z: $4 = 3 - r \Rightarrow r = -1$

Alle Gleichungen liefern $r = -1$ → Die Geraden sind identisch.

Aufgabe 4: Schnittpunkt

Berechne den Schnittpunkt der Geraden: $h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$

Gleichsetzen: $\begin{pmatrix}1+2t\\2-t\\1+3t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+u\\u\\7\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

$1 + 2t = 3 + u \Rightarrow 2t - u = 2$
$2 - t = u \Rightarrow -t - u = -2$
$1 + 3t = 7 \Rightarrow t = 2$

Aus (3): $t = 2$ Einsetzen in (2): $-2 - u = -2 \Rightarrow u = 0$

Probe mit (1): $2 \cdot 2 - 0 = 4 \neq 2$

Die Gleichungen sind nicht erfüllbar → Geraden sind windschief.

Aufgabe 5: Anwendung

Ein Satellit bewegt sich auf der Bahn $s: \vec{x} = \begin{pmatrix}400\\0\\200\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\-1\end{pmatrix}$ (Koordinaten in km, $t$ in Minuten).

Wo befindet sich der Satellit zur Zeit $t = 10$ Minuten?
Zu welcher Zeit passiert der Satellit die Höhe $z = 150$ km?

Position bei $t = 10$ : $\vec{x} = \begin{pmatrix}400\\0\\200\end{pmatrix} + 10 \cdot \begin{pmatrix}5\\3\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}400\\0\\200\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}50\\30\\-10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}450\\30\\190\end{pmatrix}$
Für $z = 150$ : $150 = 200 + t \cdot (-1)$ $150 = 200 - t$ $t = 50$ Minuten

Aufgabe 6: Verschiedene Darstellungen

Zeige, dass die Geraden $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$ identisch sind.

Richtungsvektoren prüfen: $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v_1}$

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig.
Punktprobe: Liegt $(3|1|3)$ auf $g_1$ ? $\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

x: $3 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$ y: $1 = 2 - t \Rightarrow t = 1$ z: $3 = 0 + 3t \Rightarrow t = 1$

Alle Gleichungen liefern $t = 1$ → Die Geraden sind identisch.