Aufgaben

Geradengleichungen aufstellen

Stelle die Parameterform der Geraden auf, die durch die gegebenen Punkte verläuft.

$A(1|2|3)$ und $B(4|1|7)$

Richtungsvektor: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\1-2\\7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

$P(0|1|-2)$ und $Q(3|4|1)$

Richtungsvektor: $\vec{PQ} = \begin{pmatrix}3-0\\4-1\\1-(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$

Vereinfacht: $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

$M(-2|0|5)$ und $N(1|3|-1)$

Richtungsvektor: $\vec{MN} = \begin{pmatrix}1-(-2)\\3-0\\-1-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\\-6\end{pmatrix}$

Vereinfacht: $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Geradengleichung: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Punktprobe

Prüfe, ob die gegebenen Punkte auf den Geraden liegen.

Aufgabe 1

Gerade: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

Punkte: a) $P(3|3|2)$ , b) $Q(4|5|1)$ , c) $R(1|-1|4)$

a) Für $P(3|3|2)$ : $\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

x: $3 = 2 + t \Rightarrow t = 1$ y: $3 = 1 + 2t \Rightarrow t = 1$ z: $2 = 3 - t \Rightarrow t = 1$

P liegt auf der Geraden mit $t = 1$ .

b) Für $Q(4|5|1)$ : x: $4 = 2 + t \Rightarrow t = 2$ y: $5 = 1 + 2t \Rightarrow t = 2$ z: $1 = 3 - t \Rightarrow t = 2$

Q liegt auf der Geraden mit $t = 2$ .

c) Für $R(1|-1|4)$ : x: $1 = 2 + t \Rightarrow t = -1$ y: $-1 = 1 + 2t \Rightarrow t = -1$ z: $4 = 3 - t \Rightarrow t = -1$

R liegt auf der Geraden mit $t = -1$ .

Lagebeziehungen von Geraden

Untersuche die Lagebeziehung der Geradenpaare.

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren prüfen: $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}4\\2\\6\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v_1}$

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig → Geraden sind parallel.

Um zu prüfen, ob sie identisch sind: Liegt der Punkt $(3|0|1)$ auf $g_1$ ? $\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$

\begin{align*} x: \quad 3 &= 1 + 2t \quad \Rightarrow \quad t = 1 \ y: \quad 0 &= 2 + t \quad \Rightarrow \quad t = -2 \end{align*}

Widerspruch → Geraden sind echt parallel.

$g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ $g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig → Geraden sind nicht parallel.

Schnittpunkt suchen: $\begin{pmatrix}1+t\\t\\2+t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2s\\1\\1+s\end{pmatrix}$

System: \begin{align*} 1 + t &= 2s \ t &= 1 \ 2 + t &= 1 + s \end{align*}

Aus der zweiten Gleichung: $t = 1$ Einsetzen in die erste: $1 + 1 = 2s \Rightarrow s = 1$ Einsetzen in die dritte: $2 + 1 = 1 + 1$ ✓

Geraden schneiden sich im Punkt $S = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$ .

Schnittpunkte berechnen

Berechne die Schnittpunkte der Geraden, falls sie existieren.

$h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$

Gleichsetzen: $\begin{pmatrix}2+r\\1+2r\\4-r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+2u\\3-u\\2+u\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

$2 + r = 1 + 2u \Rightarrow r - 2u = -1$
$1 + 2r = 3 - u \Rightarrow 2r + u = 2$
$4 - r = 2 + u \Rightarrow -r - u = -2 \Rightarrow r + u = 2$

Aus (2) und (3): $2r + u = 2$ und $r + u = 2$ Subtraktion: $r = 0$ Einsetzen: $u = 2$

Probe mit (1): $0 - 2 \cdot 2 = -4 \neq -1$

Die Geraden sind windschief (kein Schnittpunkt).

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Sachaufgaben.

Flugzeugnavigation

Ein Flugzeug startet am Punkt $A(100|200|5)$ (Koordinaten in km) und fliegt in Richtung des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\1\\0{,}2\end{pmatrix}$ .

Stelle die Flugbahn als Gerade dar.
Wo befindet sich das Flugzeug nach 2 Stunden bei einer Geschwindigkeit von 500 km/h?

Flugbahn: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}100\\200\\5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\0{,}2\end{pmatrix}$
Nach 2 Stunden bei 500 km/h hat das Flugzeug 1000 km zurückgelegt.

Einheitsvektor der Richtung: $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0{,}2^2} = \sqrt{9 + 1 + 0{,}04} = \sqrt{10{,}04} \approx 3{,}17$

Parameter für 1000 km: $t = \frac{1000}{3{,}17} \approx 315{,}5$

Position: $\begin{pmatrix}100\\200\\5\end{pmatrix} + 315{,}5 \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\0{,}2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1046{,}5\\515{,}5\\68{,}1\end{pmatrix}$