✏️ Sachaufgaben

Aufgabe: ⚛ Iod-Isotop

Der Mensch nimmt täglich Iod-131 auf, welches sich in der Regel in der Schilddrüse ablagert. Pro Tag zerfällt ca. 8,28% der Menge des Iod-131 Isotops.

Ein Mensch hat 100 µg aufgenommen.

a) Stelle die Exponentialfunktion auf, die den Zerfall des Iod-131 Isotops im Körper des Menschen beschreibt.

Anfangswert: $a = 100 \, \mu g$

Zerfallsfaktor: $q = 1 - 0,0828 = 0,9172$

Exponentialfunktion: $f(x) = 100 \cdot 0,9172^{x}$

Exponentialfunktion umgeschrieben: $f(x) = 100 \cdot e^{\ln(0,9172) \cdot x}$

b) Berechne die Halbwertszeit des Iod-131 Isotops.

Die Halbwertszeit $t_{h}$ ist gegeben durch:

t_{h} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0,9172)} \approx 8,02 \text{ Tage}

c) Berechne die Zeit, nach der nur noch 10 µg Iod-131 im Körper des Menschen vorhanden sind.

\begin{align*} f(x) &= 10 \\ 100 \cdot e^{\ln(0,9172) \cdot x} &= 10 &&|:100 \\ \frac{10}{100} &= e^{\ln(0,9172) \cdot x} \\ 0,1 &= e^{\ln(0,9172) \cdot x} \\ \ln(0,1) &= \ln(0,9172) \cdot x &&|\ln(...) \\ x &= \frac{\ln(0,1)}{\ln(0,9172)} \approx 26,64 \text{ Tage} \end{align*}

Aufgabe: 🍺 Bierschaum

Ein Bier wird in einem Glas serviert. Der Schaum des Bieres hat eine Höhe von 5 cm. Nach 1 Minuten ist der Schaum nur noch 3 cm hoch.

a) Stelle die Exponentialfunktion auf, die den Zerfall des Bierschaums beschreibt.

Anfangswert: $a = 5 \, cm$

Zerfallsfaktor: $q = \frac{3}{5} = 0,6$

Exponentialfunktion: $f(x) = 5 \cdot 0,6^{x}$

Exponentialfunktion umgeschrieben: $f(x) = 5 \cdot e^{\ln(0,6) \cdot x}$

b) Berechne die Halbwertszeit des Bierschaums.

Die Halbwertszeit $t_{h}$ ist gegeben durch:

t_{h} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0,6)} \approx 1,36 \text{ Minuten}

c) Berechne die Zeit, nach der nur noch 1 cm Bierschaum im Glas vorhanden ist.

\begin{align*} f(x) &= 1 \\ 5 \cdot e^{\ln(0,6) \cdot x} &= 1 &&|:5 \\ \frac{1}{5} &= e^{\ln(0,6) \cdot x} \\ 0,2 &= e^{\ln(0,6) \cdot x} \\ \ln(0,2) &= \ln(0,6) \cdot x &&|\ln(...) \\ x &= \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,6)} \approx 3,15 \text{ Minuten} \end{align*}

Nach etwa 3,15 Minuten ist nur noch 1 cm Bierschaum im Glas vorhanden.