💡 Wertetabellen von Wachstumsmodellen

Um zu überprüfen, welches Wachstumsmodell zu den gegebenen Daten passt, können aufeinanderfolgende Wertepaare untersucht werden.

Lineares Wachstum

Beim linearen Wachstum nimmt die Größe einer Menge in gleichen Zeitintervallen um denselben Betrag zu.

Zum Beispiel gehört diese Wertetabelle zum linearen Wachstum:

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 3 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow +2} \\ 1 & 5 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow +2} \\ 2 & 7 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow +2} \\ 3 & 9 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow +2} \\ 4 & 11 \\ \end{array}

Hier nimmt der Wert pro Zeiteinheit um 1 zu.

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Gib die Funktionsgleichung passend zur Wertetabelle an.

Der Anfangswert $f(0)$ ist $0$ und die Wachstumsrate beträgt $2$ , daher lautet die Funktionsgleichung:

f(x)=2 \cdot x +3

Diese Wertetabelle gehört zum quadratischen Wachstum

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 0 \\ \footnotesize{2^2=4} & \footnotesize{\frac{1}{2}\cdot 4=2} \\ 2 & 2 \\ \footnotesize{4^2=16} & \footnotesize{\frac{1}{2}\cdot 16 = 8} \\ 4 & 8 \\ \end{array}

Das erkennen wir so:

Im Falle des Beispiels ist der Faktor $a=\frac{1}{2}$ .

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Gib die Funktionsgleichung passend zur Wertetabelle an.

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Gib die Funktionsgleichung passend zur Wertetabelle an.

f(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2

Beim exponentiellen Wachstum nimmt die Größe einer Menge in gleichen Zeitintervallen um denselben Faktor zu.

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 2 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot 2} \\ 1 & 4 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot 2} \\ 2 & 8 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot 2} \\ 3 & 16 \\ \end{array}

Als Spezialfall gibt es auch die exponentielle Abnahme. Bei dieser liegt der Faktor zwischen $0$ und $1$ .

Hier ist ein Beispiel:

\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 8 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot \frac{1}{2}} \\ 1 & 4 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot \frac{1}{2}} \\ 2 & 2 \\ \footnotesize{\downarrow +1} & \footnotesize{\downarrow \cdot \frac{1}{2}} \\ 3 & 1 \\ \end{array}

Wenn du dir noch nicht sicher bist, ob du alles verstanden hast, kannst du dieses Video schauen:

Prüfe dich

Gib zu beiden Wertetabellen eine Funktionsgleichung an.

Der Anfangswert ist $f(0)=2$ und der Wachstumsfaktor ist $q=2$ . Daher lautet die Funktionsgleichung im ersten Fall:

f(x)=2 \cdot 2^x

Im zweiten Fall ist der Anfangswert $f(0)=8$ und der Wachstumsfaktor ist $q=\frac{1}{2}$ . Daher lautet die Funktionsgliechung im zweiten Fall:

f(x)=8 \cdot \frac{1}{2}^x