Ausgangssituation

Folgendes Schaubild zeigt die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .

Forschungsauftrag

Beschreibe, welche Form von den Vektoren eingeschlossen wird.

Untersuche die Seiten, Diagonalen und Winkel der Figur.

Bestimme die Vektoren, die den Diagonalen entsprechen.

$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\8\end{pmatrix}$

$\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\4\end{pmatrix}$

Schlussfolgerungen

Angenommen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gehen vom selben Punkt aus.

Gib an wie groß der Winkel ist, den $\vec{a}$ und $\vec{b}$ einschließen, wenn gilt: $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ (d.h. die Diagonalen gleich lang sind).

Bringe die Umforumgen in die richtige Reihenfolge und vollziehe sie nach.

Transfer in den Raum

Gegeben sind die Punkte $P(5|4|10)$ , $Q(12|5|5,5)$ und $S(3|9|8)$ .

Forschungsauftrag

Stelle eine Vermutung auf, ob die Vektoren $\vec{v} = \vec{PQ}$ und $\vec{s} = \vec{PS}$ orthogonal (senkrecht) zueinander sind ( $\vec{v} \perp \vec{s}$ ).
Bestimme die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{s}$ .

Übertrag die Schlussfolgerung aus dem zweidimensionalen Raum (siehe oben) auf den dreidimensionalen Raum und zeige rechnerisch am Beispiel von $\vec{v}$ und $\vec{s}$ , dass die Bedingung ebenfalls gilt.

Definition

Das Produkt zweier Vektoren

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \dots + a_n \cdot b_n$

heißt Skalarprodukt.

Satz

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal zueinander $(\vec{a} \perp \vec{b})$ , wenn

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \dots$

Ergänze die vorstehende Gleichung.