✏️ Exponentialfunktionen umschreiben

Aufgabe 1

Schreibe die folgenden Exponentialfunktionen in die Form $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x}$ um.

a) $f(x) = 3^{x}$

$f(x) = 3^{x} = e^{\ln(3) \cdot x}$

b) $f(x) = 5 \cdot 2^{x}$

$f(x) = 5 \cdot 2^{x} = 5 \cdot e^{\ln(2) \cdot x}$

c) $f(x) = 2 \cdot 1,5^{x} + 1$

$f(x) = 2 \cdot 1,5^{x} + 1 = 2 \cdot e^{\ln(1,5) \cdot x} + 1$

Gegeben sind verschiedene Sachsituationen, die mit Exponentialfunktionen beschrieben werden können.

(1) Stelle die passende Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a \cdot q^{x}$ auf.

(2) Forme die Exponentialfunktionen in die Form $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x}$ um.

a) Ein Bakterium verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn sind 8 Bakterien vorhanden.

Anfangswert: $a = 8$

Wachstumsfaktor: $q = 2$

Exponentialfunktion: $f(x) = 8 \cdot 2^{x}$

$f(x) = 8 \cdot 2^{x} = 8 \cdot e^{\ln(2) \cdot x}$

b) 1000 Euro werden jedes Jahr um 5% verzinst.

Anfangswert: $a = 1000$

Wachstumsfaktor: $q = 1,05$

Exponentialfunktion: $f(x) = 1000 \cdot 1,05^{x}$

$f(x) = 1000 \cdot 1,05^{x} = 1000 \cdot e^{\ln(1,05) \cdot x}$

c) Ein Medikament wird jede Stunde um 10% abgebaut. Zu Beginn sind 1000 mg des Medikaments im Körper.

Anfangswert: $a = 1000$

Wachstumsfaktor: $q = 0,9$

Exponentialfunktion: $f(x) = 1000 \cdot 0,9^{x}$

$f(x) = 1000 \cdot 0,9^{x} = 1000 \cdot e^{\ln(0,9) \cdot x}$