In vielen Anwendungsbereichen ist es wichtig, die Verdopplungs- und Halbwertszeit einer Exponentialfunktion zu bestimmen. Diese Zeitpunkte geben an, wie lange es dauert, bis eine Größe sich verdoppelt oder halbiert hat.
Die Verdopplungszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit eine Größe sich verdoppelt. Sie wird oft in der Form
t
v
t_{v}
t v
Die Verdopplungszeit kann aus der Exponentialfunktion
f
(
x
)
=
a
⋅
e
b
⋅
x
f(x) = a \cdot e^{b \cdot x}
f ( x ) = a ⋅ e b ⋅ x
f
(
x
)
=
2
⋅
a
f(x) = 2 \cdot a
f ( x ) = 2 ⋅ a
x
x
x
f
(
x
)
=
2
⋅
a
a
⋅
e
b
⋅
x
=
2
⋅
a
∣
:
a
e
b
⋅
x
=
2
∣
ln
(
.
.
.
)
ln
(
e
b
⋅
x
)
=
ln
(
2
)
b
⋅
x
=
ln
(
2
)
∣
:
b
x
=
ln
(
2
)
b
\begin{align*}
f(x) &= 2 \cdot a \\
a \cdot e^{b \cdot x} &= 2 \cdot a \ &&| : a \\
e^{b \cdot x} &= 2 \ &&| \ln(...) \\
\ln(e^{b \cdot x}) &= \ln(2) \\
b \cdot x &= \ln(2) \ &&| : b \\
x &= \frac{\ln(2)}{b}
\end{align*}
f ( x ) a ⋅ e b ⋅ x e b ⋅ x ln ( e b ⋅ x ) b ⋅ x x = 2 ⋅ a = 2 ⋅ a = 2 = ln ( 2 ) = ln ( 2 ) = b ln ( 2 ) ∣ : a ∣ ln ( ... ) ∣ : b Also ist die Verdopplungszeit
t
v
=
ln
(
2
)
b
t_{v} = \frac{\ln(2)}{b}
t v = b l n ( 2 )
In einer Stadt gibt es 123000 Einwohner. Jedes Jahr wächst die Bevölkerung um 0,5%. Berechne die Verdopplungszeit.
Zuerst stellen wir die Exponentialfunktion auf:
f
(
x
)
=
123000
⋅
1
,
00
5
x
f(x) = 123000 \cdot 1,005^{x}
f ( x ) = 123000 ⋅ 1 , 00 5 x
Nun formen wir die Funktion um:
f
(
x
)
=
123000
⋅
e
ln
(
1
,
005
)
⋅
x
f(x) = 123000 \cdot e^{\ln(1,005) \cdot x}
f ( x ) = 123000 ⋅ e l n ( 1 , 005 ) ⋅ x
Jetzt können wir die Verdopplungszeit berechnen:
t
v
=
ln
(
2
)
ln
(
1
,
005
)
≈
139
t_{v} = \frac{\ln(2)}{\ln(1,005)} \approx 139
t v = ln ( 1 , 005 ) ln ( 2 ) ≈ 139 Es dauert also etwa 139 Jahre, bis sich die Bevölkerung verdoppelt hat.
Die Halbwertszeit ist die Zeit, die benötigt wird, damit eine Größe sich halbiert. Sie wird oft in der Form
t
h
t_{h}
t h
Die Halbwertszeit kann aus der Exponentialfunktion
f
(
x
)
=
a
⋅
e
b
⋅
x
f(x) = a \cdot e^{b \cdot x}
f ( x ) = a ⋅ e b ⋅ x
f
(
x
)
=
1
2
⋅
a
f(x) = \frac{1}{2} \cdot a
f ( x ) = 2 1 ⋅ a
x
x
x
f
(
x
)
=
1
2
⋅
a
a
⋅
e
b
⋅
x
=
1
2
⋅
a
∣
:
a
e
b
⋅
x
=
1
2
∣
ln
(
.
.
.
)
ln
(
e
b
⋅
x
)
=
ln
(
1
2
)
b
⋅
x
=
ln
(
1
2
)
∣
:
b
x
=
ln
(
1
2
)
b
\begin{align*}
f(x) &= \frac{1}{2} \cdot a \\
a \cdot e^{b \cdot x} &= \frac{1}{2} \cdot a \ &&| : a \\
e^{b \cdot x} &= \frac{1}{2} \ &&| \ln(...) \\
\ln(e^{b \cdot x}) &= \ln(\frac{1}{2}) \\
b \cdot x &= \ln(\frac{1}{2}) \ &&| : b \\
x &= \frac{\ln(\frac{1}{2})}{b}
\end{align*}
f ( x ) a ⋅ e b ⋅ x e b ⋅ x ln ( e b ⋅ x ) b ⋅ x x = 2 1 ⋅ a = 2 1 ⋅ a = 2 1 = ln ( 2 1 ) = ln ( 2 1 ) = b ln ( 2 1 ) ∣ : a ∣ ln ( ... ) ∣ : b Also ist die Halbwertszeit
t
h
=
ln
(
1
2
)
b
t_{h} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{b}
t h = b l n ( 2 1 )
Ein Patient hat 120 mg eines Medikaments im Blut. Das Medikament wird jede Stunde um 20% abgebaut. Berechne die Halbwertszeit.
Zuerst stellen wir die Exponentialfunktion auf:
f
(
x
)
=
120
⋅
0
,
8
x
f(x) = 120 \cdot 0,8^{x}
f ( x ) = 120 ⋅ 0 , 8 x
Nun formen wir die Funktion um:
f
(
x
)
=
120
⋅
e
ln
(
0
,
8
)
⋅
x
f(x) = 120 \cdot e^{\ln(0,8) \cdot x}
f ( x ) = 120 ⋅ e l n ( 0 , 8 ) ⋅ x
Jetzt können wir die Halbwertszeit berechnen:
t
h
=
ln
(
1
2
)
ln
(
0
,
8
)
≈
3
,
1
t_{h} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(0,8)} \approx 3,1
t h = ln ( 0 , 8 ) ln ( 2 1 ) ≈ 3 , 1 Es dauert also etwa 3,1 Stunden, bis sich die Menge des Medikaments im Blut halbiert hat.
Von einer Exponentialfunktion
f
(
x
)
=
a
⋅
e
b
⋅
x
f(x) = a \cdot e^{b \cdot x}
f ( x ) = a ⋅ e b ⋅ x
t
v
=
ln
(
2
)
b
und
t
h
=
ln
(
1
2
)
b
t_{v} = \frac{\ln(2)}{b} \quad \text{und} \quad t_{h} = \frac{\ln(\frac{1}{2})}{b}
t v = b ln ( 2 ) und t h = b ln ( 2 1 )
💡 Verdopplungs- und Halbwertszeit
