💡 e-Funktionen mit linearen Exponenten

Videoerklärung

Die Ableitung einer e-Funktion ist wieder eine e-Funktion. Das gilt auch für e-Funktionen mit linearen Exponenten. Das bedeutet, dass die Ableitung von $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x + d}$ mit $a,b,c \in \mathbb{R}$ wieder eine e-Funktion ist. Jedoch wird der Faktor $b$ in der Ableitung berücksichtigt. Das bedeutet, dass die Ableitung von $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x + d}$ wie folgt aussieht:

f'(x) = a \cdot b \cdot e^{b \cdot x + d}

Ähnlich können wir auch eine Stammfunktion zu $f(x) = a \cdot e^{b \cdot x + d}$ bestimmen. Das Integral ist dann:

F(x) = \frac{a}{b} \cdot e^{b \cdot x + d} + C, C \in \mathbb{R}

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f(x) = 3 \cdot e^{2 \cdot x + 1}$ .

Die Ableitung ist:

f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2 \cdot x + 1} = 6 \cdot e^{2 \cdot x + 1}

Die Stammfunktion (das unbestimmte Integral) ist:

F(x) = \int f(x) \, dx = \frac{3}{2} \cdot e^{2 \cdot x + 1} + C