Das Logo eines Fischerlades wurde mithilfe von zwei Funktionen gestaltet.
Die Funktion
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
g
(
x
)
=
−
f
(
x
)
g(x)=-f(x)
g ( x ) = − f ( x )
x
∈
[
−
1
;
0
,
5
]
x \in [-1; 0,5]
x ∈ [ − 1 ; 0 , 5 ]
Die Funktion
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
x
=
−
2
3
x=-\frac{2}{3}
x = − 3 2
P
(
−
0
,
5
∣
0
,
125
)
P(-0,5|0,125)
P ( − 0 , 5∣0 , 125 )
f(x)=x^(3)+x^(2)
g(x)=-f(x)
a=Integral(f,g,-1,0.5)
ShowLabel(a, false)
a) Ermittle die Funktionsgleichungen zu den beiden Graphen.
Lösung
Zunächst stellen wir die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades auf:
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
f
′
(
x
)
=
3
a
x
2
+
2
b
x
+
c
\begin{align*}
f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\
f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\
\end{align*}
f ( x ) f ′ ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d = 3 a x 2 + 2 b x + c Nun stellen wir die Bedingungen auf:
f
(
0
)
=
0
f
′
(
0
)
=
0
f
(
−
0
,
5
)
=
0
,
125
f
′
(
−
2
3
)
=
0
\begin{align*}
f(0) &= 0 \\
f'(0) &= 0 \\
f(-0,5) &= 0,125 \\
f'(-\frac{2}{3}) &= 0 \\
\end{align*}
f ( 0 ) f ′ ( 0 ) f ( − 0 , 5 ) f ′ ( − 3 2 ) = 0 = 0 = 0 , 125 = 0 Daraus ergeben sich die Gleichungen:
d
=
0
c
=
0
0
,
125
=
−
1
8
a
+
1
4
b
−
1
2
c
+
d
0
=
3
⋅
4
9
a
−
2
⋅
2
3
b
+
c
\begin{align*}
d &= 0 \\
c &= 0 \\
0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{1}{2}c + d \\
0 &= 3 \cdot \frac{4}{9}a - 2 \cdot \frac{2}{3}b + c \\
\end{align*}
d c 0 , 125 0 = 0 = 0 = − 8 1 a + 4 1 b − 2 1 c + d = 3 ⋅ 9 4 a − 2 ⋅ 3 2 b + c c und d einsetzen in III und IV:
0
,
125
=
−
1
8
a
+
1
4
b
0
=
4
3
a
−
4
3
b
\begin{align*}
0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b \\
0 &= \frac{4}{3}a - \frac{4}{3}b \\
\end{align*}
0 , 125 0 = − 8 1 a + 4 1 b = 3 4 a − 3 4 b Aus IV folgt
a
=
b
a = b
a = b
0
,
125
=
−
1
8
a
+
1
4
a
0
,
125
=
1
8
a
a
=
1
\begin{align*}
0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}a \\
0,125 &= \frac{1}{8}a \\
a &= 1 \\
\end{align*}
0 , 125 0 , 125 a = − 8 1 a + 4 1 a = 8 1 a = 1 Die Funktionsgleichung von
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
f
(
x
)
=
x
3
+
x
2
f(x) = x^3 + x^2
f ( x ) = x 3 + x 2 Die Funktionsgleichung von
g
(
x
)
g(x)
g ( x )
g
(
x
)
=
−
f
(
x
)
g(x) = -f(x)
g ( x ) = − f ( x )
g
(
x
)
=
−
x
3
−
x
2
g(x) = -x^3 - x^2
g ( x ) = − x 3 − x 2
b) Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird.
Lösung
Scnittstellen berechnen:
f
(
x
)
=
g
(
x
)
x
3
+
x
2
=
−
x
3
−
x
2
2
x
3
+
2
x
2
=
0
x
2
(
x
+
1
)
=
0
x
1
=
0
x
2
=
−
1
\begin{align*}
f(x) &= g(x) \\
x^3 + x^2 &= -x^3 - x^2 \\
2x^3 + 2x^2 &= 0 \\
x^2(x + 1) &= 0 \\
x_1 &= 0 \\
x_2 &= -1 \\
\end{align*}
f ( x ) x 3 + x 2 2 x 3 + 2 x 2 x 2 ( x + 1 ) x 1 x 2 = g ( x ) = − x 3 − x 2 = 0 = 0 = 0 = − 1
Teilflächen berechnen:
A
1
=
∫
−
1
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
=
1
6
A
2
=
∫
0
0
,
5
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
≈
0
,
115
\begin{align*}
A_1 &= \int_{-1}^{0} f(x) - g(x) \, dx = \frac{1}{6} \\
A_2 &= \int_{0}^{0,5} f(x) - g(x) \, dx \approx 0,115 \\
\end{align*}
A 1 A 2 = ∫ − 1 0 f ( x ) − g ( x ) d x = 6 1 = ∫ 0 0 , 5 f ( x ) − g ( x ) d x ≈ 0 , 115 Gesamtfläche:
A
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
≈
0
,
281
A = |A_1| + |A_2| \approx 0,281
A = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ ≈ 0 , 281
Ein Alternativvorschlag sieht ein bauchigeren Fisch vor. Dazu wird die Funktion
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
2
2
2
[
−
1
;
0
,
3
]
[-1; 0,3]
[ − 1 ; 0 , 3 ]
f(x)=2 * (x^(3)+x^(2))
g(x)=-f(x)
a=Integral(f,g,-1,0.3)
ShowLabel(a, false)
c) Berechne den Flächenunterschied zwischen dem ursprünglichen und dem alternativen Logo in Prozent.
Lösung
Scnittstellen berechnen:
Es ergeben sich die gleichen Schnittpunkte wie im ursprünglichen Logo.
Teilflächen berechnen:
A
1
=
∫
−
1
0
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
=
1
3
A
2
=
∫
0
0
,
3
f
(
x
)
−
g
(
x
)
d
x
≈
0
,
0441
\begin{align*}
A_1 &= \int_{-1}^{0} f(x) - g(x) \, dx = \frac{1}{3} \\
A_2 &= \int_{0}^{0,3} f(x) - g(x) \, dx \approx 0,0441 \\
\end{align*}
A 1 A 2 = ∫ − 1 0 f ( x ) − g ( x ) d x = 3 1 = ∫ 0 0 , 3 f ( x ) − g ( x ) d x ≈ 0 , 0441 Gesamtfläche:
A
=
∣
A
1
∣
+
∣
A
2
∣
≈
0
,
3774
A = |A_1| + |A_2| \approx 0,3774
A = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ ≈ 0 , 3774
Prozentualer Flächenunterschied:
0
,
3774
−
0
,
281
0
,
281
≈
34
,
4
%
\frac{0,3774 - 0,281}{0,281} \approx 34,4\%
0 , 281 0 , 3774 − 0 , 281 ≈ 34 , 4%
Für eine Datingseite soll ein Logo entworfen werden, das an einen Kussmund erinnert.
Das Logo besteht aus drei Funktionen
f
(
x
)
f(x)
f ( x )
g
(
x
)
g(x)
g ( x )
h
(
x
)
h(x)
h ( x )
f
(
x
)
=
1
4
(
1
−
x
)
(
x
+
3
)
g
(
x
)
=
1
4
(
x
+
1
)
(
3
−
x
)
h
(
x
)
=
1
4
(
x
−
3
)
(
x
+
3
)
\begin{align*}
f(x) &= \frac{1}{4} (1-x)(x+3) \\
g(x) &= \frac{1}{4} (x+1)(3-x) \\
h(x) &= \frac{1}{4} (x-3)(x+3) \\
\end{align*}
f ( x ) g ( x ) h ( x ) = 4 1 ( 1 − x ) ( x + 3 ) = 4 1 ( x + 1 ) ( 3 − x ) = 4 1 ( x − 3 ) ( x + 3 )
f(x) = 0.25 * (1-x) * (x+3)
g(x) = 0.25 * (x+1) * (3-x)
h(x) = 0.25 * (x-3) * (x+3)
a=Integral(f,h,-3,0)
ShowLabel(a, false)
b=Integral(g,h,0,3)
ShowLabel(b, false)
a) Berechne den gefärbten Flächeninhalt.
Tipp
Nutze die Symmetrie zur y-Achse. Berechne die Fläche zwischen g und h im Intervall von 0 bis 3 und verdopple das Ergebnis.
Lösung
A
=
13
,
5
A = 13,5
A = 13 , 5 Der östliche Abschnitt einer Motorsportstrecke lässt sich durch eine ganzrationale Funktion beschreiben mit:
f
(
x
)
=
−
1
50
x
4
+
0.5
x
3
−
4
x
2
+
10
x
+
4
\begin{align*}
f(x) &= -\frac{1}{50}x^4 + 0.5x^3 - 4x^2 + 10x + 4
\end{align*}
f ( x ) = − 50 1 x 4 + 0.5 x 3 − 4 x 2 + 10 x + 4 Die Funktion
f
f
f
x
=
11
,
61
x=11,61
x = 11 , 61
Das Streckengelände wird mit einer Begrenzungsmauer versehen, die durch die Funktion
g
(
x
)
g(x)
g ( x )
g
(
x
)
=
−
1
10
x
2
+
0.5
x
+
14
\begin{align*}
g(x) &= -\frac{1}{10} x^2 + 0.5x + 14
\end{align*}
g ( x ) = − 10 1 x 2 + 0.5 x + 14 Eine Einheit im Kooridnatensystem entspricht 10 Metern.
f(x) = -1/50x^4 + 0.5x^3 - 4x^2 + 10x + 4
A_1 = Integral(f,0,11.61)
SetColor(A_1, "Green")
SetLabelMode(A_1, 0)
g(x) = -1/10 x^2 + 0.5x + 14
A_2 = Integral(f,g,1,11)
SetLabelMode(A_2, 0)
SetColor(A_2, "Gray")
a) Im Innenraum (
A
1
A_1
A 1
Lösung
A
1
≈
61
,
17
=
611
,
7
m
2
A_1 \approx 61,17 = 611,7 \, m^2
A 1 ≈ 61 , 17 = 611 , 7 m 2 Die Fläche, die mit Rasen bedeckt werden muss, beträgt
611
,
7
m
2
611,7 \, m^2
611 , 7 m 2
b) Zwischen der Strecke und der Begrenzungsmauer soll im Intervall
1
≤
x
≤
11
1 \leq x \leq 11
1 ≤ x ≤ 11
A
2
A_2
A 2
m
3
m^3
m 3
20
c
m
20cm
20 c m
Lösung
A
2
≈
73
,
2
=
732
m
2
A_2 \approx 73,2 = 732 \, m^2
A 2 ≈ 73 , 2 = 732 m 2 Die benötigte Menge an Kies beträgt
732
⋅
0
,
2
=
146
,
4
m
3
732 \cdot 0,2 = 146,4 \, m^3
732 ⋅ 0 , 2 = 146 , 4 m 3
✏️ Übungen: Fläche zwischen zwei Graphen im Sachkontext
