✏️ Übungen: Fläche zwischen zwei Graphen im Sachkontext

🐟 Logo eines Fischerladens

Das Logo eines Fischerlades wurde mithilfe von zwei Funktionen gestaltet.

Die Funktion $f(x)$ und $g(x)=-f(x)$ schließen Flächen ein, die an einen Fisch erinnern, wenn $x \in [-1; 0,5]$.

Die Funktion $f(x)$ ist eine Funktion dritten Grades, sie hat einen Hochpunkt bei $x=-\frac{2}{3}$, einen Tiefpunkt im Ursprung und einen Punkt $P(-0,5|0,125)$.

a) Ermittle die Funktionsgleichungen zu den beiden Graphen.

Lösung

Zunächst stellen wir die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion dritten Grades auf:

$$\begin{align*} f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\ \end{align*}$$

Nun stellen wir die Bedingungen auf:

$$\begin{align*} f(0) &= 0 \\ f'(0) &= 0 \\ f(-0,5) &= 0,125 \\ f'(-\frac{2}{3}) &= 0 \\ \end{align*}$$

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

$$\begin{align*} d &= 0 \\ c &= 0 \\ 0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b - \frac{1}{2}c + d \\ 0 &= 3 \cdot \frac{4}{9}a - 2 \cdot \frac{2}{3}b + c \\ \end{align*}$$

c und d einsetzen in III und IV:

$$\begin{align*} 0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}b \\ 0 &= \frac{4}{3}a - \frac{4}{3}b \\ \end{align*}$$

Aus IV folgt $a = b$. Einsetzen in III:

$$\begin{align*} 0,125 &= -\frac{1}{8}a + \frac{1}{4}a \\ 0,125 &= \frac{1}{8}a \\ a &= 1 \\ \end{align*}$$

Die Funktionsgleichung von $f(x)$ lautet also:

$$f(x) = x^3 + x^2$$

Die Funktionsgleichung von $g(x)$ ist $g(x) = -f(x)$:

$$g(x) = -x^3 - x^2$$

b) Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von den beiden Graphen eingeschlossen wird.

Lösung

1. Scnittstellen berechnen:

$$\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ x^3 + x^2 &= -x^3 - x^2 \\ 2x^3 + 2x^2 &= 0 \\ x^2(x + 1) &= 0 \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= -1 \\ \end{align*}$$

2. Teilflächen berechnen:

$$\begin{align*} A_1 &= \int_{-1}^{0} f(x) - g(x) \, dx = \frac{1}{6} \\ A_2 &= \int_{0}^{0,5} f(x) - g(x) \, dx \approx 0,115 \\ \end{align*}$$

Gesamtfläche: $A = |A_1| + |A_2| \approx 0,281$

Ein Alternativvorschlag sieht ein bauchigeren Fisch vor. Dazu wird die Funktion $f(x)$ mit dem Faktor $2$ in Richtung der y-Achse gestreckt. Damit die Schwanzfloße nicht zu groß wird, wird x auf das Intervall $[-1; 0,3]$ beschränkt.

c) Berechne den Flächenunterschied zwischen dem ursprünglichen und dem alternativen Logo in Prozent.

Lösung

1. Scnittstellen berechnen:

Es ergeben sich die gleichen Schnittpunkte wie im ursprünglichen Logo.

2. Teilflächen berechnen:

$$\begin{align*} A_1 &= \int_{-1}^{0} f(x) - g(x) \, dx = \frac{1}{3} \\ A_2 &= \int_{0}^{0,3} f(x) - g(x) \, dx \approx 0,0441 \\ \end{align*}$$

Gesamtfläche: $A = |A_1| + |A_2| \approx 0,3774$

Prozentualer Flächenunterschied: $\frac{0,3774 - 0,281}{0,281} \approx 34,4\%$

💋 Kussmund

Für eine Datingseite soll ein Logo entworfen werden, das an einen Kussmund erinnert.

Das Logo besteht aus drei Funktionen $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$.

$$\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{4} (1-x)(x+3) \\ g(x) &= \frac{1}{4} (x+1)(3-x) \\ h(x) &= \frac{1}{4} (x-3)(x+3) \\ \end{align*}$$

a) Berechne den gefärbten Flächeninhalt.

Tipp

Nutze die Symmetrie zur y-Achse. Berechne die Fläche zwischen g und h im Intervall von 0 bis 3 und verdopple das Ergebnis.

Lösung

$$A = 13,5$$

🏎️ Rennstrecke

Der östliche Abschnitt einer Motorsportstrecke lässt sich durch eine ganzrationale Funktion beschreiben mit:

$$\begin{align*} f(x) &= -\frac{1}{50}x^4 + 0.5x^3 - 4x^2 + 10x + 4 \end{align*}$$

Die Funktion $f$ schneidet die x-Achse bei $x=11,61$.

Das Streckengelände wird mit einer Begrenzungsmauer versehen, die durch die Funktion $g(x)$ beschrieben wird:

$$\begin{align*} g(x) &= -\frac{1}{10} x^2 + 0.5x + 14 \end{align*}$$

Eine Einheit im Kooridnatensystem entspricht 10 Metern.

a) Im Innenraum ($A_1$) der Strecke soll Rasen gesät werden. Berechne die Fläche, die mit Rasen bedeckt werden muss.

Lösung

$$A_1 \approx 61,17 = 611,7 \, m^2$$

Die Fläche, die mit Rasen bedeckt werden muss, beträgt $611,7 \, m^2$

b) Zwischen der Strecke und der Begrenzungsmauer soll im Intervall $1 \leq x \leq 11$ ein Kiesbett angelegt werden ($A_2$). Berechne die benötigte Menge an Kies in $m^3$, wenn die Kiesschicht $20cm$ hoch sein soll.

Lösung

$$A_2 \approx 73,2 = 732 \, m^2$$

Die benötigte Menge an Kies beträgt $732 \cdot 0,2 = 146,4 \, m^3$