Formeln für Ebenen und Geraden

Schnittpunkt Gerade-Ebene

Gerade: $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ Ebene: $E: ax + by + cz = d$

Schnittpunkt: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen und nach $t$ auflösen.

Lagebeziehung	Bedingung	Anzahl Schnittpunkte
Gerade in Ebene	$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ und Stützpunkt in Ebene	unendlich viele
Gerade schneidet Ebene	$\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$	genau einer
Gerade parallel zu Ebene	$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ und Stützpunkt nicht in Ebene	keiner

Der Winkel $\alpha$ zwischen Gerade (Richtungsvektor $\vec{v}$ ) und Ebene (Normalenvektor $\vec{n}$ ):

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Wenn eine Gerade parallel zur Ebene ist, entspricht der Abstand dem Abstand eines beliebigen Geradenpunktes zur Ebene.