Aufgaben

Winkel zwischen Vektoren berechnen

Berechne den Winkel zwischen den gegebenen Vektoren.

$\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

Lösung

Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0$

Beträge: $|\vec{a}| = 1$ , $|\vec{b}| = 1$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0$

Winkel: $\alpha = \arccos(0) = 90°$

$\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$

Lösung

Skalarprodukt: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 7$

Beträge:

$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{7}{5\sqrt{3}}$

Winkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{7}{5\sqrt{3}}\right) \approx 36{,}2°$

$\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{q} = \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}$

Lösung

Skalarprodukt: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0$

Da das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal.

Winkel: $\alpha = 90°$

Orthogonalität prüfen

Prüfe, ob die gegebenen Vektoren orthogonal sind.

$\vec{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{s} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{r} \cdot \vec{s} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 = 2 + 0 - 2 = 0$

Ja, die Vektoren sind orthogonal.

$\vec{m} = \begin{pmatrix}3\\1\\-2\end{pmatrix}$ und $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1 = 3 - 1 - 2 = 0$

Ja, die Vektoren sind orthogonal.

$\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{y} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{x} \cdot \vec{y} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 2 + 0 + 1 = 3 \neq 0$

Nein, die Vektoren sind nicht orthogonal.

Parallelität prüfen

Prüfe, ob die gegebenen Vektoren parallel sind und bestimme ggf. den Proportionalitätsfaktor.

$\vec{a} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Lösung

Prüfung: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ ?

$\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Aus jeder Komponente: $k = 2$

Da $k$ für alle Komponenten gleich ist, sind die Vektoren parallel mit $\vec{a} = 2\vec{b}$ .

Winkel: $\alpha = 0°$ (gleiche Richtung)

$\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\6\\-9\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$

Lösung

Prüfung: $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ ?

$\begin{pmatrix}3\\6\\-9\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$

Aus der ersten Komponente: $3 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -3$ Aus der zweiten Komponente: $6 = k \cdot (-2) \Rightarrow k = -3$ Aus der dritten Komponente: $-9 = k \cdot 3 \Rightarrow k = -3$

Da $k = -3$ für alle Komponenten, sind die Vektoren antiparallel mit $\vec{u} = -3\vec{v}$ .

Winkel: $\alpha = 180°$ (entgegengesetzte Richtung)

Winkel in besonderen Dreiecken

Verwende Vektoren, um Winkel in geometrischen Figuren zu berechnen.

Aufgabe: Dreieck ABC

Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten $A(1|2|3)$ , $B(4|1|2)$ und $C(2|5|1)$ .

Berechne den Winkel bei Punkt A.

Lösung

Für den Winkel bei A benötigen wir die Vektoren von A zu den anderen Eckpunkten:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}4-1\\1-2\\2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}$

$\vec{AC} = \begin{pmatrix}2-1\\5-2\\1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + (-1) \cdot (-2) = 3 - 3 + 2 = 2$

Beträge:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{11}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{154}}$

Winkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{154}}\right) \approx 80{,}8°$

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Sachaufgaben.

Kraftvektoren

Zwei Kräfte $\vec{F_1} = \begin{pmatrix}30\\40\\0\end{pmatrix}$ N und $\vec{F_2} = \begin{pmatrix}20\\0\\30\end{pmatrix}$ N wirken auf einen Körper.

Unter welchem Winkel stehen die Kräfte zueinander?
Wie groß ist die resultierende Kraft $\vec{F_R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ ?

Lösung

Winkelberechnung:

Skalarprodukt: $\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} = 30 \cdot 20 + 40 \cdot 0 + 0 \cdot 30 = 600$

Beträge:
- $|\vec{F_1}| = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \text{ N}$
- $|\vec{F_2}| = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \text{ N}$
Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{600}{50 \cdot 10\sqrt{13}} = \frac{6}{5\sqrt{13}}$

Winkel: $\alpha \approx 70{,}07°$
Resultierende Kraft:

$\vec{F_R} = \begin{pmatrix}30\\40\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}20\\0\\30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}50\\40\\30\end{pmatrix}$

Betrag: $|\vec{F_R}| = \sqrt{50^2 + 40^2 + 30^2} \approx 70{,}71 \text{ N}$

Navigationsproblem

Ein Schiff fährt mit Geschwindigkeitsvektor $\vec{v_S} = \begin{pmatrix}15\\20\\0\end{pmatrix}$ km/h. Gleichzeitig wirkt eine Strömung mit $\vec{v_St} = \begin{pmatrix}5\\-3\\0\end{pmatrix}$ km/h.

Unter welchem Winkel weicht das Schiff von seinem ursprünglichen Kurs ab?

Lösung

Die tatsächliche Geschwindigkeit ist: $\vec{v_{ges}} = \vec{v_S} + \vec{v_{St}} = \begin{pmatrix}20\\17\\0\end{pmatrix}$

Winkel zwischen ursprünglichem Kurs $\vec{v_S}$ und tatsächlichem Kurs $\vec{v_{ges}}$ :

Skalarprodukt: $\vec{v_S} \cdot \vec{v_{ges}} = 15 \cdot 20 + 20 \cdot 17 = 300 + 340 = 640$

Beträge:

$|\vec{v_S}| = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$
$|\vec{v_{ges}}| = \sqrt{20^2 + 17^2} = \sqrt{689}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{640}{25\sqrt{689}}$

Winkel: $\alpha \approx 13{,}2°$

Das Schiff weicht um etwa 13,2° von seinem ursprünglichen Kurs ab.