Das hast du gelernt

Punkte im Raum: Ein Punkt im dreidimensionalen Raum wird durch drei Koordinaten beschrieben: $P(x|y|z)$

Vektoren im Raum: Ein Vektor im Raum hat drei Komponenten: $\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Verbindungsvektor: Der Vektor von Punkt A zu Punkt B ist: $\vec{AB} = B - A$

Betrag eines Vektors: Die Länge eines Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ ist: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Einheitsvektor: Ein Vektor der Länge 1 wird berechnet durch: $\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

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Aufgabe 1: Verbindungsvektor

Gegeben sind die Punkte $A(2|1|-3)$ und $B(-1|4|2)$ . Bestimme den Vektor $\vec{AB}$ .

$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\3\\5\end{pmatrix}$

Aufgabe 2: Betrag eines Vektors

Berechne den Betrag des Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$ .

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Aufgabe 3: Einheitsvektor

Bestimme den Einheitsvektor zum Vektor $\vec{w} = \begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}$ .

Zunächst den Betrag berechnen: $|\vec{w}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 0 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Einheitsvektor: $\vec{e_w} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}$

Aufgabe 4: Abstand zwischen Punkten

Berechne den Abstand zwischen den Punkten $P(1|2|3)$ und $Q(4|6|7)$ .

$d(P,Q) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6{,}4$

Aufgabe 5: Anwendung

Ein Roboter bewegt sich von Position $A(0|0|0)$ zu Position $B(3|4|0)$ und dann weiter zu Position $C(3|4|5)$ .

Bestimme die beiden Bewegungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ .
Berechne die Gesamtstrecke, die der Roboter zurücklegt.

Bewegungsvektoren: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$

$\vec{BC} = \begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}$
Gesamtstrecke: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = 5$

Gesamtstrecke: $5 + 5 = 10$ Einheiten

Aufgabe 6: Koordinaten bestimmen

Ein Punkt P hat von Q(2|1|3) den Abstand 5. Die x-Koordinate von P ist 6, die y-Koordinate ist -2. Bestimme die z-Koordinate von P.

Sei $P(6|-2|z)$ . Dann ist:

$d(P,Q) = \sqrt{(6-2)^2 + (-2-1)^2 + (z-3)^2} = 5$

$\sqrt{16 + 9 + (z-3)^2} = 5$

$\sqrt{25 + (z-3)^2} = 5$

Quadrieren beider Seiten: $25 + (z-3)^2 = 25$

$(z-3)^2 = 0$

$z = 3$

Also ist $P(6|-2|3)$ .