Aufgaben

Schnittwinkel berechnen

Berechne den Schnittwinkel der gegebenen Geraden. Gehe davon aus, dass die Geraden sich schneiden.

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

Lösung

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1$

Beträge: $|\vec{v_1}| = \sqrt{2}$ , $|\vec{v_2}| = \sqrt{2}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Schnittwinkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$

$h_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ $h_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$

Lösung

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 2 - 2 - 2 = -2$

Beträge: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ , $|\vec{v_2}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{|-2|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$

Schnittwinkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \approx 73{,}2°$

Lagebeziehungen bestimmen

Bestimme die Lagebeziehung der Geraden und berechne ggf. den Schnittwinkel.

$g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}$

Lösung

Richtungsvektoren vergleichen: $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} = 2 \cdot \vec{v_1}$

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig → Geraden sind parallel. Sie schneiden sich nicht.

$g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ $g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

Lösung

Die Geraden schneiden sich, wenn es $t$ und $s$ gibt, so dass:

\begin{align*} 0 + t \cdot 1 & = 1 + s \cdot 1 \\ 0 + t \cdot 0 & = 0 + s \cdot 2 \\ 2 + t \cdot 1 & = 0 + s \cdot (-1) \\ \end{align*}

\begin{align*} t & = 1 + s \\ t & = 2s \\ 2 + t & = -s \\ \end{align*}

2s = 1 + s \Rightarrow s = 1 \Rightarrow t = 2

Die beiden Geraden schneiden sich.

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 1 + 0 - 1 = 0$

Da das Skalarprodukt null ist → Geraden sind orthogonal.

Schnittwinkel: $\alpha = 90°$

Orthogonale Geraden finden

Bestimme eine Gerade, die orthogonal zur gegebenen Gerade verläuft.

Gegeben: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$

Finde eine Gerade $h$ , die orthogonal zu $g$ ist und durch den Punkt $P(0|0|0)$ verläuft.

Lösung

Für Orthogonalität muss der Richtungsvektor $\vec{w}$ von $h$ senkrecht zu $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ stehen.

Bedingung: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$

Sei $\vec{w} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ . Dann: $2a + b + c = 0$

Eine mögliche Lösung: $a = 1, b = 0, c = -2$ → $\vec{w} = \begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Probe: $\vec{v} \cdot \vec{w} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) = 0$ ✓

Orthogonale Gerade: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$

Anwendungsaufgaben

Löse die folgenden Sachaufgaben.

Straßenkreuzung

Zwei Straßen verlaufen entlang der Geraden:

Straße A: $g_A: \vec{x} = \begin{pmatrix}100\\200\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$
Straße B: $g_B: \vec{x} = \begin{pmatrix}150\\180\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$

Unter welchem Winkel kreuzen sich die Straßen?

Lösung

Richtungsvektoren: $\vec{v_A} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{v_B} = \begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{v_A} \cdot \vec{v_B} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 7$

Beträge: $|\vec{v_A}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ , $|\vec{v_B}| = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{7}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}}$

Schnittwinkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{170}}\right) \approx 57{,}5°$

Dachkonstruktion

Die Sparren eines Daches verlaufen entlang der Richtungen:

Sparren 1: $\vec{r_1} = \begin{pmatrix}4\\0\\-1\end{pmatrix}$
Sparren 2: $\vec{r_2} = \begin{pmatrix}0\\4\\-1\end{pmatrix}$

Unter welchem Winkel treffen sich die Sparren am First?

Lösung

Skalarprodukt: $\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + (-1) \cdot (-1) = 1$

Beträge: $|\vec{r_1}| = |\vec{r_2}| = \sqrt{16 + 0 + 1} = \sqrt{17}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{17}$

Schnittwinkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{17}\right) \approx 86{,}6°$

Parameterabhängige Aufgaben

Bestimme den Parameter so, dass die gegebene Bedingung erfüllt ist.

Aufgabe 1: Orthogonale Geraden

Bestimme $k$ so, dass die Geraden orthogonal sind: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\k\\2\end{pmatrix}$ $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

Lösung

Für Orthogonalität: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

$\begin{pmatrix}1\\k\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + k \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 2 + k - 2 = k = 0$

Also: $k = 0$

Aufgabe 2: Schnittwinkel 60°

Bestimme $a$ so, dass der Schnittwinkel 60° beträgt: $h_1: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ $h_2: \vec{x} = \vec{q} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}$

Lösung

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\a\\0\end{pmatrix}$

Für Schnittwinkel 60°: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$

$\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|} = \frac{1}{2}$

Skalarprodukt: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1$

Beträge: $|\vec{v_1}| = 1$ , $|\vec{v_2}| = \sqrt{1 + a^2}$

Einsetzen: $\frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + a^2}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt{1 + a^2} = 2$ $1 + a^2 = 4$ $a^2 = 3$ $a = \pm\sqrt{3}$