Koordinatenform von Ebenen

Die Koordinatenform einer Ebene hat die Gestalt:

$ax + by + cz = d$

wobei $a$, $b$, $c$ und $d$ reelle Zahlen sind.

Der Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ steht senkrecht auf der Ebene und bestimmt die Koeffizienten der Koordinatenform.

Algorithmus:

1. Normalenvektor berechnen: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ (Kreuzprodukt)
2. Koordinatenform aufstellen: $n_1x + n_2y + n_3z = d$
3. Parameter $d$ mit einem bekannten Punkt bestimmen

Parameterform: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

Schritt 1: Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Schritt 2: Ansatz der Koordinatenform $-x - y + z = d$

Schritt 3: Mit Stützpunkt $(1|2|0)$ $-1 - 2 + 0 = d \Rightarrow d = -3$

Koordinatenform: $-x - y + z = -3$

Algorithmus:

1. Einen Punkt auf der Ebene finden (einen Koordinatenwert wählen)
2. Zwei linear unabhängige Vektoren finden, die senkrecht zum Normalenvektor stehen
3. Parameterform aufstellen

Koordinatenebenen:

• xy-Ebene: $z = 0$
• xz-Ebene: $y = 0$
• yz-Ebene: $x = 0$

Parallele Ebenen zu den Koordinatenebenen:

• $x = a$, $y = b$, $z = c$