Aufgaben

Umwandlung Parameterform → Koordinatenform

Wandle die gegebene Parameterform in die Koordinatenform um.

$E: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Koordinatenform: $x - y + z = d$

Parameter d bestimmen mit Stützpunkt $(1|0|2)$ : $1 - 0 + 2 = 3$

Ergebnis: $x - y + z = 3$

Abstand Punkt-Ebene

Berechne den Abstand des Punktes zur Ebene.

Punkt: $P(2|1|3)$ , Ebene: $2x + y - 2z = 4$

$d(P,E) = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 - 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|4 + 1 - 6 - 4|}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$

Punktprobe

Prüfe, ob der Punkt auf der Ebene liegt.

Punkt: $Q(1|2|3)$ , Ebene: $x + 2y - z = 2$

Einsetzen: $1 + 2 \cdot 2 - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$

Da $2 = 2$ , liegt Q auf der Ebene.