Aufgaben

$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}4\\1\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

$\vec{PQ} = Q - P = \begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\5\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\-4\\6\end{pmatrix}$

$\vec{MN} = N - M = \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-3\\-1\end{pmatrix}$

$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{u}| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$

Zunächst den Betrag berechnen: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Einheitsvektor: $\vec{e_a} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}8\\0\\0{,}6\end{pmatrix}$

Zunächst den Betrag berechnen: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Einheitsvektor: $\vec{e_b} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

$d(A,B) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$

$d(P,Q) = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$d(R,S) = \sqrt{(2-(-1))^2 + (-2-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$

1. Flugvektor: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}25\\12\\5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}10\\5\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15\\7\\3\end{pmatrix}$

2. Flugdistanz: $|\vec{AB}| = \sqrt{15^2 + 7^2 + 3^2} = \sqrt{225 + 49 + 9} = \sqrt{283} \approx 16{,}8 \text{ km}$

1. Die acht Eckpunkte sind:

   • Grundfläche: $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$, $C(4|4|0)$, $D(0|4|0)$
   • Deckfläche: $E(0|0|4)$, $F(4|0|4)$, $G(4|4|4)$, $H(0|4|4)$

2. Raumdiagonale von A nach G: $d(A,G) = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$