Skalarprodukt: Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Orthogonalität: Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind orthogonal (stehen senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt null ist:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Rechengesetze für das Skalarprodukt:

1. Kommutativgesetz: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Assoziativgesetz: $r \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = (r \cdot \vec{a}) \cdot \vec{b}$
3. Distributivgesetz: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
4. Betragsbeziehung: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Prüfe, ob die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$ orthogonal sind.

Bestimme den Wert von $k$, so dass die Vektoren $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\k\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{q} = \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ orthogonal sind.

Vereinfache den Ausdruck $3 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot (2\vec{b})$ mithilfe der Rechengesetze des Skalarprodukts.