Formeln für Punkte und Vektoren im Raum

Ein Punkt im dreidimensionalen Raum wird durch drei Koordinaten dargestellt:

$P(x|y|z)$

wobei:

• $x$ die Position auf der x-Achse
• $y$ die Position auf der y-Achse
• $z$ die Position auf der z-Achse angibt

Ein Vektor im dreidimensionalen Raum wird als Spaltenvektor dargestellt:

$\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Der Verbindungsvektor von Punkt A zu Punkt B wird berechnet durch:

$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\\z_B - z_A\end{pmatrix}$

Gegeben: $A(1|2|3)$ und $B(4|1|7)$

$\vec{AB} = \begin{pmatrix}4\\1\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}$

Der Betrag (die Länge) eines Vektors $\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ wird berechnet durch:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Für $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$:

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Ein Einheitsvektor $\vec{e}$ zu einem gegebenen Vektor $\vec{v}$ wird berechnet durch:

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v}$

Ein Einheitsvektor hat immer die Länge 1: $|\vec{e}| = 1$

Für $\vec{v} = \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$:

1. Betrag berechnen: $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$

2. Einheitsvektor: $\vec{e} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}6\\0\\0{,}8\end{pmatrix}$

Der Abstand zwischen zwei Punkten $A(x_A|y_A|z_A)$ und $B(x_B|y_B|z_B)$ wird berechnet durch:

$d(A,B) = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$

Abstand zwischen $P(1|2|3)$ und $Q(4|6|3)$:

$d(P,Q) = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$