Schnittwinkel von Geraden

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden ist der kleinere der beiden Winkel, die die Geraden beim Schneiden bilden. Dieser Winkel liegt immer zwischen 0° und 90°.

Der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den Richtungsvektoren $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ ist:

$\alpha = \arccos\left(\frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}\right)$

Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass der Winkel immer zwischen 0° und 90° liegt.

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind: $\vec{v_1} = k \cdot \vec{v_2}$ für ein $k \neq 0$

Der Schnittwinkel paralleler Geraden ist 0°.

Zwei Geraden sind orthogonal (stehen senkrecht), wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$

Der Schnittwinkel orthogonaler Geraden ist 90°.

Gegeben seien die Richtungsvektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$.

Winkel zwischen den Vektoren: $\cos(\beta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{-1 + 1 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0$ $\beta = 90°$

Schnittwinkel der Geraden: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{|0|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0$ $\alpha = 90°$

In diesem Fall sind beide Winkel gleich.

Eine Straße verläuft in Richtung $\vec{r_1} = \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$, eine andere in Richtung $\vec{r_2} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$.

Unter welchem Winkel kreuzen sich die Straßen?

Lösung: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{r_1} \cdot \vec{r_2}|}{|\vec{r_1}| \cdot |\vec{r_2}|} = \frac{|3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45°$

Die Straßen kreuzen sich unter einem Winkel von 45°.