Das hast du gelernt

Winkel zwischen Vektoren: Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird berechnet durch: $\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Geometrische Interpretation: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Spezialfälle:

$\alpha = 0°$ : Vektoren parallel (gleiche Richtung)
$\alpha = 90°$ : Vektoren orthogonal ( $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ )
$\alpha = 180°$ : Vektoren antiparallel (entgegengesetzte Richtung)

Orthogonalität: Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Prüfe dich

Aufgabe 1: Grundberechnung

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ .

Musterlösung

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 2 + 2 - 4 = 0$

Schritt 2: Da das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal.

Antwort: $\alpha = 90°$

Aufgabe 2: Parallelität

Prüfe, ob die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix}6\\-9\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}$ parallel sind.

Musterlösung

Prüfung auf lineare Abhängigkeit: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ ?

$\begin{pmatrix}6\\-9\\3\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}$

Aus der ersten Komponente: $6 = k \cdot (-2) \Rightarrow k = -3$ Aus der zweiten Komponente: $-9 = k \cdot 3 \Rightarrow k = -3$ Aus der dritten Komponente: $3 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -3$

Da $k = -3$ für alle Komponenten, sind die Vektoren antiparallel mit Winkel $\alpha = 180°$ .

Aufgabe 3: Winkel im Dreieck

Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$ , $B(3|0|0)$ und $C(0|4|0)$ . Berechne den Winkel bei A.

Musterlösung

Vektoren von A aus: $\vec{AB} = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$ $\vec{AC} = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}$

Skalarprodukt: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 0 = 0$

Da das Skalarprodukt null ist: $\alpha = 90°$

Aufgabe 4: Anwendung Kräfte

Zwei Kräfte $\vec{F_1} = \begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix}$ N und $\vec{F_2} = \begin{pmatrix}6\\-8\\0\end{pmatrix}$ N wirken auf einen Körper. Unter welchem Winkel stehen sie zueinander?

Musterlösung

Skalarprodukt: $\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} = 8 \cdot 6 + 6 \cdot (-8) + 0 \cdot 0 = 48 - 48 = 0$

Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Kräfte senkrecht zueinander.

Winkel: $\alpha = 90°$

Aufgabe 5: Bestimmung fehlender Koordinaten

Bestimme den Wert von $k$ , so dass die Vektoren $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\k\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{q} = \begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$ orthogonal sind.

Musterlösung

Für Orthogonalität muss gelten: $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 3 + k \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 6 + 2k - 6 = 2k = 0$

Also: $k = 0$

Aufgabe 6: Winkel zwischen Richtungsvektoren

Zwei Geraden haben die Richtungsvektoren $\vec{r_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ und $\vec{r_2} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ . Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden?

Musterlösung

Skalarprodukt: $\vec{r_1} \cdot \vec{r_2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 2 - 1 + 1 = 2$

Beträge:

$|\vec{r_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
$|\vec{r_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$

Cosinus: $\cos(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Winkel: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 61{,}9°$

Aufgabe 7: Spitzer oder stumpfer Winkel?

Ohne den Winkel zu berechnen, entscheide, ob der Winkel zwischen $\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ spitz, rechtwinklig oder stumpf ist.

Musterlösung

Skalarprodukt berechnen: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3$

Da das Skalarprodukt positiv ist, ist $\cos(\alpha) > 0$ , also $\alpha < 90°$ .

Der Winkel ist spitz.

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