Aufgaben

Berechnen

1. $\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\2\\1\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v} \cdot \vec{w} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 10$

2. $\vec{v} = \begin{pmatrix}-2\\2\\-3\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\2\\-3\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3) = 9$

3. $\vec{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -1\\1\\0\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v} \cdot \vec{w} = (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2$

Orthogonalität prüfen

1. $\vec{v} = \begin{pmatrix}4\\-5\\1\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\1\\-7\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind orthogonal.

2. $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -4\\2\\3\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind nicht orthogonal.

3. $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}, \vec{w} = \begin{pmatrix} -3\\6\\0\end{pmatrix}$

Lösung

$\vec{v}$ und $\vec{w}$ sind orthogonal.

Orthonalen Vektor finden

1. $\vec{v} = \begin{pmatrix}-5\\3\\3\end{pmatrix}$

Lösung

Es gibt viele Lösungen z.B. $\vec{w} = \begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix}$

2. $\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\-3\\9\end{pmatrix}$

Lösung

Es gibt viele Lösungen z.B. $\vec{w} = \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}$

Pythagoras von Samos Statue

Zu Ehren des griechischen Mathematikers Pythagoras steht auf der Hafenmodel der nach ihm benanntnen Stadt Pythagorio auf Samos ein Denkmal. Pythoagras ist bekannt für den Satz des Pythagoras der in rechtwinklingen Dreiecken gilt.

Das aus Stein gefertigte Dreieck hat bezüglich eines Koordinatensystems die Eckpunkte $A(2|2|1), B(2|-1|9)$ und $C(2|-1|1)$

Tipp 1

Erstelle eine Skizze.

Tipp 2

Stelle die beiden Katheten als Vektoren dar und berechne das Skalarprodukt.

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Lösung

Natürlich ist das Dreieck rechtwinkling.