Darum geht's: Du liest die binomischen Formeln von rechts nach links. So machst du aus einer Summe ein Produkt. Das brauchst du später beim Lösen von Gleichungen und beim Kürzen.
(x + 5)²
x² + 10x + 25
ausmultiplizieren
faktorisieren
Produkt
Summe
Faktorisieren mit binomischen Formeln
Quadrate suchen: Welche Glieder sind Quadrate? Dann findest du
a
a
a
b
b
b Mittelglied prüfen: Gibt es ein Mittelglied, muss es
2
a
b
2ab
2 ab Formel wählen:
+
2
a
b
+2ab
+ 2 ab
(
a
+
b
)
2
(a + b)^2
( a + b ) 2
−
2
a
b
-2ab
− 2 ab
(
a
−
b
)
2
(a - b)^2
( a − b ) 2 kein Mittelglied, aber ein Minus zwischen den Quadraten →
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(a + b)(a - b)
( a + b ) ( a − b )
Summe
Quadrate
Mittelglied
Produkt
x
2
+
14
x
+
49
x^2 + 14x + 49
x 2 + 14 x + 49
x
2
x^2
x 2
49
=
7
2
49 = 7^2
49 = 7 2
2
⋅
x
⋅
7
=
14
x
2 \cdot x \cdot 7 = 14x
2 ⋅ x ⋅ 7 = 14 x
(
x
+
7
)
2
(x + 7)^2
( x + 7 ) 2
9
x
2
−
12
x
+
4
9x^2 - 12x + 4
9 x 2 − 12 x + 4
(
3
x
)
2
(3x)^2
( 3 x ) 2
2
2
2^2
2 2
2
⋅
3
x
⋅
2
=
12
x
2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x
2 ⋅ 3 x ⋅ 2 = 12 x
(
3
x
−
2
)
2
(3x - 2)^2
( 3 x − 2 ) 2
25
−
x
2
25 - x^2
25 − x 2
5
2
5^2
5 2
x
2
x^2
x 2 keins, aber Minus
(
5
+
x
)
(
5
−
x
)
(5 + x)(5 - x)
( 5 + x ) ( 5 − x )
1 Entscheide, welche Formel passt. Manchmal passt keine.
Summe
Formel
x
2
+
8
x
+
16
x^2 + 8x + 16
x 2 + 8 x + 16 {A{!1. Formel
x
2
−
14
x
+
49
x^2 - 14x + 49
x 2 − 14 x + 49 {A{1. Formel
x
2
−
36
x^2 - 36
x 2 − 36 {A{1. Formel
x
2
+
5
x
+
9
x^2 + 5x + 9
x 2 + 5 x + 9 {A{1. Formel
x
2
+
16
x^2 + 16
x 2 + 16 {A{1. Formel
{b{x² + 5x + 9: 9 = 3², aber 2 · x · 3 = 6x und nicht 5x. — x² + 16: Eine Summe von zwei Quadraten ohne Mittelglied passt zu keiner Formel.}}
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
x^2 + 6x + 9 = (x +
x 2 + 6 x + 9 = ( x +
)
2
)^2
) 2
x
2
−
10
x
+
25
=
(
x
−
x^2 - 10x + 25 = (x -
x 2 − 10 x + 25 = ( x −
)
2
)^2
) 2
x
2
−
64
=
(
x
+
x^2 - 64 = (x +
x 2 − 64 = ( x +
)
(
x
−
)(x -
) ( x −
)
)
)
x
2
+
2
x
+
1
=
(
x
+
x^2 + 2x + 1 = (x +
x 2 + 2 x + 1 = ( x +
)
2
)^2
) 2
9
x
2
+
6
x
+
1
=
(
9x^2 + 6x + 1 = (
9 x 2 + 6 x + 1 = (
x
+
1
)
2
x + 1)^2
x + 1 ) 2
4
x
2
−
9
=
(
4x^2 - 9 = (
4 x 2 − 9 = (
x
+
3
)
(
x + 3)(
x + 3 ) (
x
−
3
)
x - 3)
x − 3 )
25
a
2
−
20
a
+
4
=
(
25a^2 - 20a + 4 = (
25 a 2 − 20 a + 4 = (
a
−
a -
a −
)
2
)^2
) 2
1
−
100
y
2
=
(
1
+
1 - 100y^2 = (1 +
1 − 100 y 2 = ( 1 +
y
)
(
1
−
y)(1 -
y ) ( 1 −
y
)
y)
y )
Manchmal fehlt ein Glied, damit eine binomische Formel entsteht. Im Bild siehst du, warum: Aus
x
2
x^2
x 2 Ecke ein ganzes Quadrat.
Stelle mit dem Schieberegler die Zahl
p
p
p
x
x
x
3 Ergänze die Lücke so, dass eine binomische Formel entsteht.
x
2
+
x^2 +
x 2 +
x
+
25
=
(
x
+
5
)
2
x + 25 = (x + 5)^2
x + 25 = ( x + 5 ) 2
x
2
−
x^2 -
x 2 −
x
+
9
=
(
x
−
3
)
2
x + 9 = (x - 3)^2
x + 9 = ( x − 3 ) 2
x
2
+
12
x
+
x^2 + 12x +
x 2 + 12 x +
=
(
x
+
6
)
2
= (x + 6)^2
= ( x + 6 ) 2
x
2
−
4
x
+
x^2 - 4x +
x 2 − 4 x +
=
(
x
−
2
)
2
= (x - 2)^2
= ( x − 2 ) 2
x
2
+
3
x
+
x^2 + 3x +
x 2 + 3 x +
=
(
x
+
1,5
)
2
= (x + 1{,}5)^2
= ( x + 1 , 5 ) 2
4
x
2
+
4x^2 +
4 x 2 +
x
+
49
=
(
2
x
+
7
)
2
x + 49 = (2x + 7)^2
x + 49 = ( 2 x + 7 ) 2
{b{Das letzte Glied ist (p : 2)². Das Mittelglied ist 2 · a · b.}}
Dieses Ergänzen heißt quadratische Ergänzung . Damit kannst du später quadratische Gleichungen lösen.
Weiter geht es mit der Seite Rechentricks .
