✏️ Gemischte Aufgaben

Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Mengenoperationen

Videoerklärung

Gegeben ist die Ergebnismenge $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ eines Zufallsexperiments sowie die Ereignisse:

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

a) Geben Sie die Mengen $A \cap B$ und $A \cup B$ an.

b) Bestimmen Sie $\overline{A}$ und $\overline{B}$ .

c) Geben Sie $\overline{A \cap B}$ und $\overline{A} \cup \overline{B}$ an.

Musterlösung

a) Schnitt- und Vereinigungsmenge:

\begin{align*} A \cap B &= \{2, 4\} \\ A \cup B &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\} \end{align*}

b) Komplementärmengen:

\begin{align*} \overline{A} &= \{1, 3, 5, 7, 9\} \\ \overline{B} &= \{6, 7, 8, 9, 10\} \end{align*}

c) Komplexere Mengenoperationen:

\begin{align*} \overline{A \cap B} &= \overline{\{2, 4\}} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \\ \overline{A} \cup \overline{B} &= \{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{6, 7, 8, 9, 10\} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \end{align*}

Aufgabe 2: Würfelwurf mit Ereignissen

Videoerklärung

Bei einem Zufallsexperiment werden zwei unterscheidbare Würfel geworfen (ein roter und ein blauer).

a) Geben Sie die Ergebnismenge $S$ an (Anzahl der Elemente genügt).

b) Beschreiben Sie folgende Ereignisse in Mengenschreibweise:

$C$ : Die Augensumme beträgt 7
$D$ : Beide Würfel zeigen die gleiche Augenzahl

c) Berechnen Sie $P(C)$ und $P(D)$ .

d) Berechnen Sie $P(C \cup D)$ und $P(C \cap D)$ .

Musterlösung

a) Ergebnismenge:

Die Ergebnismenge enthält alle Kombinationen (rot, blau): $|S| = 6 \cdot 6 = 36$ Elemente.

b) Ereignisse in Mengenschreibweise:

\begin{align*} C &= \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\} \\ D &= \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} \end{align*}

c) Wahrscheinlichkeiten:

\begin{align*} P(C) &= \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\ P(D) &= \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \end{align*}

d) Vereinigung und Schnitt:

\begin{align*} C \cap D &= \{\} \text{ (leere Menge)} \\ P(C \cap D) &= 0 \\ P(C \cup D) &= P(C) + P(D) - P(C \cap D) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{3} \end{align*}

In einer Schule mit 800 Schülern wurde eine Umfrage zur Nutzung sozialer Medien durchgeführt. 60% der Schüler nutzen täglich soziale Medien. Von denen, die täglich soziale Medien nutzen, haben 75% ein Smartphone. Von den Schülern, die nicht täglich soziale Medien nutzen, haben 40% ein Smartphone.

Ereignisse:

$S$ : Schüler nutzt täglich soziale Medien
$H$ : Schüler hat ein Smartphone

a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler ein Smartphone hat.

c) Ein Schüler hat ein Smartphone. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er täglich soziale Medien nutzt?

d) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse $S$ und $H$ stochastisch unabhängig sind.

Musterlösung

a) Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten:

Berechnungen:

Schüler mit täglicher Nutzung: $0{,}6 \cdot 800 = 480$
Schüler ohne tägliche Nutzung: $0{,}4 \cdot 800 = 320$
Tägliche Nutzung + Smartphone: $0{,}75 \cdot 480 = 360$
Tägliche Nutzung + kein Smartphone: $480 - 360 = 120$
Keine tägliche Nutzung + Smartphone: $0{,}4 \cdot 320 = 128$
Keine tägliche Nutzung + kein Smartphone: $320 - 128 = 192$

	$H$	$\overline{H}$	Summe
$S$	360	120	480
$\overline{S}$	128	192	320
Summe	488	312	800

b) Wahrscheinlichkeit für Smartphone:

P(H) = \frac{488}{800} = 0{,}61 = 61\%

c) Bedingte Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes):

P_H(S) = \frac{P(S \cap H)}{P(H)} = \frac{360/800}{488/800} = \frac{360}{488} \approx 0{,}738 = 73{,}8\%

d) Test auf Unabhängigkeit:

\begin{align*} P(S) \cdot P(H) &= 0{,}6 \cdot 0{,}61 = 0{,}366 \\ P(S \cap H) &= \frac{360}{800} = 0{,}45 \end{align*}

Da $P(S) \cdot P(H) \neq P(S \cap H)$ , sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Aufgabe 2: Urnenmodell ohne Zurücklegen

Videoerklärung

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) Erstellen Sie ein Baumdiagramm mit allen Pfadwahrscheinlichkeiten.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind.

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben.

d) Untersuchen Sie die Ereignisse $A$ : "Erste Kugel ist rot" und $B$ : "Zweite Kugel ist rot" auf stochastische Unabhängigkeit.

Musterlösung

a) Baumdiagramm:

Erste Ziehung:
  R (5/8)
    ├─ R (4/7) → RR: 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14
    └─ B (3/7) → RB: 5/8 · 3/7 = 15/56
  B (3/8)
    ├─ R (5/7) → BR: 3/8 · 5/7 = 15/56
    └─ B (2/7) → BB: 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28

b) Wahrscheinlichkeit für zwei rote Kugeln:

P(RR) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357 = 35{,}7\%

c) Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben:

P(\text{gleiche Farbe}) = P(RR) + P(BB) = \frac{5}{14} + \frac{3}{28} = \frac{10}{28} + \frac{3}{28} = \frac{13}{28} \approx 0{,}464 = 46{,}4\%

d) Test auf Unabhängigkeit:

\begin{align*} P(A) &= P(\text{erste rot}) = \frac{5}{8} \\ P(B) &= P(\text{zweite rot}) = P(RR) + P(BR) = \frac{5}{14} + \frac{15}{56} = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8} \\ P(A \cap B) &= P(RR) = \frac{5}{14} \\ P(A) \cdot P(B) &= \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64} \approx 0{,}391 \\ P(A \cap B) &= \frac{5}{14} \approx 0{,}357 \end{align*}

Da $P(A) \cdot P(B) \neq P(A \cap B)$ , sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig. Dies ist bei Ziehen ohne Zurücklegen typisch.

Aufgabe 3: Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten

Videoerklärung

Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen immer gelten, nie stimmen oder nur in bestimmten Fällen richtig sind. Geben Sie gegebenenfalls die Bedingung an oder ein Gegenbeispiel.

a) Für zwei Ereignisse $E$ und $F$ gilt: $P(E \cup F) = P(E) + P(F)$

b) Wenn $P_E(F) = P(F)$ , dann sind $E$ und $F$ stochastisch unabhängig.

c) Für zwei Ereignisse gilt: $P(E \cap F) \leq P(E)$

Musterlösung

a) Nur in bestimmten Fällen richtig

Die Aussage gilt nur, wenn $E$ und $F$ disjunkt sind, also $E \cap F = \{\}$ .

Allgemein gilt: $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$

Gegenbeispiel: Würfelwurf, $E = \{1,2,3\}$ , $F = \{2,3,4\}$

$P(E) = 1/2$ , $P(F) = 1/2$
$P(E \cup F) = P(\{1,2,3,4\}) = 2/3 \neq 1 = P(E) + P(F)$

b) Nur in bestimmten Fällen richtig

Die Bedingung $P_E(F) = P(F)$ ist notwendig für Unabhängigkeit, aber nicht hinreichend.

Für vollständige Unabhängigkeit muss auch gelten: $P_F(E) = P(E)$ bzw. $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$

Bei $P(E) = 0$ oder $P(F) = 0$ sind die Ereignisse per Definition unabhängig.

c) Immer richtig

Da $E \cap F \subseteq E$ , gilt immer $P(E \cap F) \leq P(E)$ .

Die Schnittmenge kann nicht wahrscheinlicher sein als die Menge selbst.

Aufgabe 4: Glücksrad mit Parametern

Videoerklärung

Ein Glücksrad ist in $n$ gleich große Sektoren unterteilt. Davon sind $m$ Sektoren rot und die restlichen $n - m$ Sektoren blau gefärbt (mit $0 < m < n$ ). Das Rad wird zweimal gedreht.

a) Geben Sie die Ergebnismenge des Zufallsexperiments an.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Drehungen die Farbe Rot ergeben, in Abhängigkeit von $n$ und $m$ .

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Drehungen dieselbe Farbe ergeben, in Abhängigkeit von $n$ und $m$ .

d) Untersuchen Sie die Ereignisse $A$ : "Rot nur in der ersten Drehnung" und $B$ : "Rot nur in der zweiten Drehnung" auf stochastische Unabhängigkeit.

Musterlösung

a) Ergebnismenge:

S = \{RR, RB, BR, BB\}

wobei $R$ für Rot und $B$ für Blau steht.

b) Wahrscheinlichkeit für zwei Mal Rot:

Die Wahrscheinlichkeit bei einer Drehung Rot zu erhalten ist $P(R) = \frac{m}{n}$ .

Da die Drehungen unabhängig sind:

P(RR) = P(R) \cdot P(R) = \frac{m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m^2}{n^2}

c) Wahrscheinlichkeit für gleiche Farben:

\begin{align*} P(\text{gleiche Farbe}) &= P(RR) + P(BB) \\ &= \frac{m^2}{n^2} + \frac{(n-m)^2}{n^2} \end{align*}

d) Test auf Unabhängigkeit:

\begin{align*} P(A) &= P(RB) = \frac{m}{n} \cdot \frac{n-m}{n} = \frac{m(n-m)}{n^2} \\ P(B) &= P(BR) = \frac{n-m}{n} \cdot \frac{m}{n} = \frac{m(n-m)}{n^2} \\ P(A \cap B) &= 0 \text{ (da beide Ereignisse sich gegenseitig ausschließen)} \\ P(A) \cdot P(B) &= \left(\frac{m(n-m)}{n^2}\right)^2 = \frac{m^2(n-m)^2}{n^4} \neq 0 \end{align*}

Da $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ , sind die Ereignisse stochastisch abhängig.

✏️ Gemischte Aufgaben

Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Mengenoperationen

Aufgabe 2: Würfelwurf mit Ereignissen

Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabe 1: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 2: Urnenmodell ohne Zurücklegen

Aufgabe 3: Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten

Aufgabe 4: Glücksrad mit Parametern