Das hast du gelernt

Lagebeziehungen Gerade-Ebene:

Gerade in Ebene: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ und Stützpunkt in Ebene
Gerade schneidet Ebene: $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$
Gerade parallel zu Ebene: $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ und Stützpunkt nicht in Ebene

Schnittpunkt: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen und nach Parameter auflösen

Winkel Gerade-Ebene: $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$

Prüfe dich

Aufgabe 1: Schnittpunkt bestimmen

Bestimme den Schnittpunkt von $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $E: x + 2y + z = 5$ .

Einsetzen: $(1+2t) + 2(2-t) + (0+3t) = 5$ $1 + 2t + 4 - 2t + 3t = 5$ $5 + 3t = 5 \Rightarrow t = 0$

Schnittpunkt: $S = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$

Aufgabe 2: Lagebeziehung

Untersuche die Lagebeziehung zwischen $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ und $E: x + 2y - z = 0$ .

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 1 - 4 - 1 = -4 \neq 0$

Da das Skalarprodukt ungleich null ist, schneidet die Gerade die Ebene.