Das hast du gelernt

Koordinatenform: $ax + by + cz = d$ mit Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

Kreuzprodukt: $\vec{u} \times \vec{v}$ ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren

Abstand Punkt-Ebene: $d(P,E) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Prüfe dich

Bestimme die Koordinatenform der Ebene durch die Punkte $A(1|0|1)$ , $B(2|1|0)$ und $C(0|1|2)$ .

Musterlösung

Spannvektoren:

Normalenvektor: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$

Koordinatenform: $2x + 2z = d$

Mit Punkt A: $2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4$

Ergebnis: $2x + 2z = 4$ oder vereinfacht: $x + z = 2$

Berechne den Abstand des Punktes $P(3|2|1)$ zur Ebene $x + 2y + 2z = 9$ .

Musterlösung

$d(P,E) = \frac{|3 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|9 - 9|}{3} = 0$

Der Punkt liegt auf der Ebene (Abstand = 0).