Ebenen und Geraden

Eine Gerade kann zu einer Ebene folgende Lagebeziehungen haben:

1. Gerade liegt in der Ebene (unendlich viele Schnittpunkte)
2. Gerade schneidet die Ebene (genau ein Schnittpunkt)
3. Gerade ist parallel zur Ebene (kein Schnittpunkt)

Algorithmus für Gerade $g: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$ und Ebene $E: ax + by + cz = d$:

1. Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen
2. Nach Parameter $t$ auflösen
3. $t$ in Geradengleichung einsetzen → Schnittpunkt

Gerade: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$

Ebene: $E: x + y + z = 6$

Einsetzen: $(1+t) + (2-t) + (0+2t) = 6$ Vereinfachen: $3 + 2t = 6 \Rightarrow t = 1{,}5$ Schnittpunkt: $S = \begin{pmatrix}2{,}5\\0{,}5\\3\end{pmatrix}$

Eine Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene.

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$