✏️ Gemischte Aufgaben

a) Vektoraddition und -subtraktion:

b) Beträge der Vektoren:

c) Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 2 - 2 - 3 = -3$

Formel für den Winkel zwischen Vektoren: $\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Berechnung der benötigten Werte:

Einsetzen: $\cos(\alpha) = \frac{0}{5 \cdot 5} = 0$

Daher ist $\alpha = 90°$. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

a) Punktprobe für $P(5|0|6)$:

Ansatz: $\begin{pmatrix}5\\0\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Komponentenweise:

Alle Gleichungen ergeben $t = 2$, daher liegt $P$ auf der Geraden.

b) Punkt mit $x = 7$:

Aus $7 = 1 + 2t$ folgt $t = 3$.

Der gesuchte Punkt ist: $\begin{pmatrix}7\\2-3\\0+9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\-1\\9\end{pmatrix}$

Ansatz: $\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

Das System ist lösbar mit $r = 1, s = 1$. Der Punkt $Q$ liegt auf der Ebene.

a) Um zu überprüfen, ob das Dreieck gleichschenklig oder rechtwinklig ist, berechnen wir die Seitenlängen:

Da nicht zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck nicht gleichsenkling.

Um zu prüfen, ob es rechtwinklig ist, berechnen wir die Skalarprodukte:

Da keine der Skalarprodukte null ist, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

b) Die Seitenlängen wurden bereits in Teil a) berechnet.

c) Eine Ebene, in der das Dreieck liegt, kann mit dem Stützvektor $\vec{OA} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ und den Spannvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ aufgestellt werden:

d) Ein weiterer Punkt in der Ebene kann durch Wahl von $r = 1$ und $s = 2$ gefunden werden:

Damit liegt der Punkt $P(6|6|3)$ in der Ebene.

a) Überprüfung durch Skalarprodukte:

b) Koordinatenform aufstellen:

Mit dem Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix}4\\-1\\4\end{pmatrix}$ und dem Stützvektor $\vec{p} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$:

Bestimmung von $d$ durch Einsetzen von $\vec{p}$:

Also lautet die Koordinatenform der Ebene:

Dachebene mit Stützvektor $\vec{OA} = \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$ und Spannvektoren:

Dachebene: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\8\\2\end{pmatrix}$

Wir müssen noch zeigen, dass Punkt C in der Ebene liegt:

Damit liegt Punkt C in der Ebene.

Wir finden den Mittelpunkt $M$ des Daches, indem wir vom Ursprung den Vektoren zum Mittelpunkt folgen.

Der Mittelpunkt $M$ hat die Koordinaten $(5|4|4)$ und die Höhe vom Boden beträgt 4 m.

Das Dach ist $| \vec{AB} | = 10 \, m$ breit und $| \vec{AD} | = \sqrt{0^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{68} \approx 8,24 \, m$ tief.

In die Breite passen 11 Platten (10 m / 0,9 m = 11,11) und in die Tiefe 13 Platten (8,24 m / 0,6 m = 13,73). Insgesamt werden also $11 \cdot 13 = 143$ Platten benötigt.

Werden die Platten in der anderen Ausrichtung verlegt, also 60 cm in die Breite und 90 cm in die Tiefe, passen 16 Platten in die Breite (10 m / 0,6 m = 16,66) und 9 Platten in die Tiefe (8,24 m / 0,9 m = 9,15). Insgesamt werden also $16 \cdot 9 = 144$ Platten benötigt.

Also können maximal 144 Platten verlegt werden.

In Zeile (1) wird der Richtungsvektor $\vec{u}$ der geneigten Kante $AD$ und der Richtungsvektor $\vec{v}$ der horizontalen Kante $AH$ bestimmt. In Zeile (2) wird der Kosinus des Winkels $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren mit Hilfe des Skalarprodukts berechnet.

Den Winkel $\alpha$ berechnen:

Das Dach ist mit einem Winkel von ca. 14,04° geneigt, was innerhalb der zulässigen Neigung von 30° liegt.

Um die Neigung auf genau 30° zu ändern, muss der Höhenunterschied zwischen den Punkten D und A angepasst werden. Dazu stellen wir einen Vektore mit einer fehlenden Höhe $h$ auf:

Dieser muss den Winkel von 30° mit dem Vektor $\begin{pmatrix}0\\8\\3\end{pmatrix}$ bilden. Wir verwenden die gleiche Formel wie zuvor:

Da das Dach höher als Punkt A sein muss, wählen wir den positiven Wert. Die neuen Koordinaten von D und G sind somit:

$D_{neu}(0|8|7,62)$ $G_{neu}(10|8|7,62)$

a) Lagebeziehung prüfen:

Richtungsvektoren: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$

Da $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ nicht kollinear sind, sind die Geraden nicht parallel.

Schnittpunkt suchen: $\begin{pmatrix}1+2t\\t\\2-t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}s\\1-s\\1+s\end{pmatrix}$

Gleichungssystem:

Aus (2): $s = 1 - t$, einsetzen in (1): $1 + 2t = 1 - t \Rightarrow t = 0$ Also $s = 1$.

Prüfung in (3): $2 - 0 = 1 + 1 = 2$ ✓

Die Geraden schneiden sich.

b) Schnittpunkt: $S = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$

c) Schnittwinkel: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

$\cos(\alpha) = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = 0$

Der Schnittwinkel beträgt $\alpha = 90°$.

a) Parameterform der Ebene durch $ABS$:

Stützvektor: $\vec{OA} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

Richtungsvektoren:

Ebenengleichung:

b) Flächeninhalt mit Kreuzprodukt:

Flächeninhalt des Dreiecks $ABS$:

c) Winkel zwischen den Ebenen:

Normalenvektor der Seitenfläche: $\vec{n_1} = \begin{pmatrix}0\\-48\\18\end{pmatrix}$ (oder vereinfacht: $\begin{pmatrix}0\\-8\\3\end{pmatrix}$)

Normalenvektor der Grundfläche: $\vec{n_2} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

d) Schnittpunkt von $g$ mit der Ebene $ABS$:

Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:

Gleichungssystem:

Aus den letzten beiden Gleichungen: $3s = 8s \Rightarrow s = 0$ (nur für $s = 0$ lösbar, was $t = 0$ bedeutet)

Aus der ersten Gleichung mit $s = 0$: $3 = 6r \Rightarrow r = 0{,}5$

Schnittpunkt: $\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$ (Punkt auf der Kante $AB$)

Die Gerade schneidet die Seitenfläche nur im Punkt $(3|0|0)$, da sie parallel zur Ebene verläuft, sobald sie in die Pyramide eindringt.